Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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Ce théorème nous permettra de formuler des énoncés sous la forme
« ... pour tout n ~ no ... » ou « ... pour tout n assez grand ... » et de les
justifier en prenant l'hypothèse pour tout n.
2. Séries à termes réels positifs
THÉORÈME 11.15. - Une série de terme général réel Un positif est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée.
En effet, avec Un = uo + u1 + ... +Un, on a Un+I - Un = Un+l ~ 0,
la suite des sommes partielles est donc croissante, et on sait alors qu'elle
converge si et seulement si elle est majorée.
Rappelons rapidement la justification: si U = lira Un existe, soit
n-++oo
ê = 1, 3no, Vn ~ no, IU - Uni ~ 1 d'où a fortiori Un ~ U + 1, donc
Vn E t\I, Un~ sup {1 + U, Uo, Ui, ... , Un 0 -I},
la suite est majorée; et réciproquement, si la suite est majorée, l'ensemble
des Un admet une borne supérieure, U, mais alors 'Vê > 0, U - ê n'est
plus majorant, donc il existe no E t\I tel que U - ê ~ Un 0 ~ U, et la
suite (Un)neN étant croissante, Vn ~ no, on a U - ê ~ Un ~ U d'où
~ ~=~
•
n--++oo
Ce théorème va nous permettre de connaître la nature des séries de
1
terme général positif un= - , (pour n ~ 1) avec a réel, par comparaison
n°'
avec des intégrales impropres.
THÉORÈME 11.16. (dit de Cauchy) - Soit une fonction f de (0, +oo[ dans
IR+, décroissante. La série de terme général f(n) est de même nature que
l'intégrale impropre J 0 + 00 f(t)dt.
D'abord f, monotone, est intégrable sur tout segment de [O, +oo[,
(corollaire 8.23), donc l'intégrale impropre J 0 + 00 f(t)dt converge si et
seulement si, avec F(X) = fox f (t)dt, on a lira F(X) existe. Comme
X-++oo
f est à valeurs positives, F est croissante, donc cette limite existe si et
seulement si Fest bornée, (et d'ailleurs I = lira F(X) = sup {F(X),
X-++oo
X~ 0}). La justification du théorème 11.16 est alors visuelle.