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Analyse fonctionnelle
pour tout n > PQ, le polynôme Un - Pa son terme de degré Po+ 1 de
1
coefficient non nul, égal à 2P
n
llUn - Plloo;;;,: 2 p0+1' (avec Un= L Uk)·
k=O
Mais alors,
1
3e = 2 po+l, 'v'no E N, 3n ;;;.: no,
tel que llUn - Plloo ; ; ; , : é (il suffit de prendre n;;;,: Po+ 1 en fait), ceci nie
le fait que la suite des sommes partielles Un converge vers P.
•
Attention donc sur les espaces non complets à ne pas conclure trop
vite, d'autant plus qu'on va pratiquement toujours chercher la convergence
absolue dans ce qui suit, et ceci non par masochisme, mais parce que
la structure d'ordre sur IR va nous permettre, pour les séries à termes
positifs, d'établir des critères de comparaison dont on déduira des critères
de convergence.
Un dernier résultat d'ordre général avant de passer aux séries à
termes positifs :
THÉORÈME 11.14. - On ne change pas la nature (convergence ou divergence) d'une série si on en modifie un nombre fini de termes.
On appelle nature d'une série le fait qu'elle soit convergente, ou
divergente.
Soit une série u de terme général Un. On se donne un nombre fini, p,
d'indices: ni, n2, ... , np, et on remplace Unk' (pour k = 1, ... ,p) par une
valeur donnée ak·
Notons v la série de terme général Vn défini par Vnk = ak
si k E {1, 2, ... ,p} et Vn =Un sinon.
Pour tout n > sup{n1, n2, ... , np}, on a de manière évidente
p
Vn =Un+ L(ak -Unk),
k=l
donc Vn - Un est constant par rapport à n > sup (n1, n2, ... , np)· On
a donc convergence de la série des Un si et seulement si celle des Vn
converge, (même équivalence pour la convergence absolue).
Analyse fonctionnelle
pour tout n > PQ, le polynôme Un - Pa son terme de degré Po+ 1 de
1
coefficient non nul, égal à 2P
n
llUn - Plloo;;;,: 2 p0+1' (avec Un= L Uk)·
k=O
Mais alors,
1
3e = 2 po+l, 'v'no E N, 3n ;;;.: no,
tel que llUn - Plloo ; ; ; , : é (il suffit de prendre n;;;,: Po+ 1 en fait), ceci nie
le fait que la suite des sommes partielles Un converge vers P.
•
Attention donc sur les espaces non complets à ne pas conclure trop
vite, d'autant plus qu'on va pratiquement toujours chercher la convergence
absolue dans ce qui suit, et ceci non par masochisme, mais parce que
la structure d'ordre sur IR va nous permettre, pour les séries à termes
positifs, d'établir des critères de comparaison dont on déduira des critères
de convergence.
Un dernier résultat d'ordre général avant de passer aux séries à
termes positifs :
THÉORÈME 11.14. - On ne change pas la nature (convergence ou divergence) d'une série si on en modifie un nombre fini de termes.
On appelle nature d'une série le fait qu'elle soit convergente, ou
divergente.
Soit une série u de terme général Un. On se donne un nombre fini, p,
d'indices: ni, n2, ... , np, et on remplace Unk' (pour k = 1, ... ,p) par une
valeur donnée ak·
Notons v la série de terme général Vn défini par Vnk = ak
si k E {1, 2, ... ,p} et Vn =Un sinon.
Pour tout n > sup{n1, n2, ... , np}, on a de manière évidente
p
Vn =Un+ L(ak -Unk),
k=l
donc Vn - Un est constant par rapport à n > sup (n1, n2, ... , np)· On
a donc convergence de la série des Un si et seulement si celle des Vn
converge, (même équivalence pour la convergence absolue).