Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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THÉROÈME 11.12. - Si E est un espace vectoriel normé complet, la convergence absolue, (d'une série) implique la convergence.
Car soit la série absolument convergente, de terme général Un. Alors
Ve> 0, 3no, Vq ~no, Vp ~ q, lluqll + Jluq+ill + ... + llupll ~ e,
(Critère de Cauchy dans R pour la série des JJunJJ), d'où a fortiori, on a
Vq ~no, Vp ~ q, lluq + uq+l + ... + upll ~ e
(inégalité triangulaire) : le critère de Cauchy appliqué cette fois à la série
des Un dans E complet permet de conclure.
•
La réciproque est fausse : une série peut être convergente sans l'être
absolument, comme le montre le cas de la série dite harmonique de terme
(-l)n
1
général réel Un = - - 1 -. On a lun 1 = - - 1 , c'est le terme d'une
n+
n+
série divergente (voir la remarque 11.8.), donc la série des Un n'est pas
absolument convergente, mais elle est convergente comme on le verra au
Théorème 11.56, si vous êtes impatient, allez-y, moi je ne peux pas, je ne
l'ai pas encore écrit.
REMARQUE 11.13. - Si E n'est pas complet, une série peut être absolument
convergente sans être convergente.
Chaque fois que l'on veut un espace vectoriel normé non complet, il
faut passer à la dimension infinie, mn étant toujours complet) et on a vu
(corollaire 6.33) que E = IR[X] n'est jamais complet.
On prend donc E = lll[X], normé par la norme infinie : si P(X) =
L: anxn. oes an étant presque tous nuls), est un polynôme on pose
nEN
llPlloo = sup{lanl; n E N}, (existe car le cardinal de l'ensemble des n
tels que an f. 0 est fini).
xn
1
Soit Un = 2ft' on a llunlloo = 2 n : la série des Un est absolument
1
convergente, puisque la série géométrique des 2 n converge (voir 11.6).
Mais la série des Un diverge dans E, car si le polynôme Pétait somme
Po
de la série des Un. en notant p = L anxn' (po = 0 ou degré de P),
n=O