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Analyse fonctionnelle
11.9. Un autre exemple : lien avec une suite
Soit, dans E espace vectoriel normé, la suite de terme général Xn· On
pose Un= Xn+l - Xn, pour tout entier naturel n, d'où
n
Un = L Uk = Xn+l - Xo
k=O
et la série des Un est convergente si et seulement si la suite des Xn est
convergente. En cas de convergence, on aura U = ( lim Xn) - xo.
n-++oo
Ces deux exemples, (série géométrique et série dont le terme général
est la différence de deux termes consécutifs d'une suite) sont des cas
particuliers, où l'on peut effectivement calculer les sommes partielles.
S'il n'y avait que des cas de ce type on n'aurait aucune raison d'étudier
les séries mais le plus souvent on ne pourra pas calculer les sommes
partielles : il nous faut autre chose.
Si l'espace vectoriel E est complet, la suite des sommes partielles, Un.
de la série de terme général Uk sera convergente si et seulement si elle
est de Cauchy.
Si on forme Up - Uq-1• pour p ~ q, il vient
Up - Uq-1 = Uq + Uq+l + ... + Up
et on a donc:
THÉROÈME 11.10. - Soit dans E espace vectoriel normé complet, une série
de terme général Un. Elle est convergente si et seulement si on a :
Ve >.0, 3no EN, 'efq ~no, 'efp ~ q, lluq + uq+l + ... + upll ~ e. •
Or, l'inégalité triangulaire donne
lluq + uq+l + ... + Upll ~ lluqll + lluq+ill + ... + llupll,
donc si le majorant est inférieur à é, le minorant le sera, (que voilà des
idées simples!) ou encore si la série des l lunl 1 converge, (dans R) celle des
Un convergera, (dans E e.v.n. complet). On introduit alors la notion de
convergence absolue.
DÉFINITION 11.11. - Soit u une série de terme général Un dans E espace
vectoriel normé. Elle est dite absolument convergente si la série des 11Un11
est convergente, (dans Ill).