Séries numériques, séries d~ns les espaces vectoriels normés
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On a vu, (remarque 4.84) que si une suite est convergente, elle est de
Cauchy, (la réciproque n'étant vraie que dans les espaces complets).
Donc si la série u des Un est convergente, la suite des sommes
partielles, Un, est de Cauchy dans E vectoriel normé donc on a:
Vê>O, 3no, Vp~no, Vq>p, llUq-Upll ~ê
ou encore,
llup+l + Up+2 + ... + uqll ~ ê.
A fortiori, Vê > 0, 3no, Vp ~ no, i!Up+i 11 ~ ê, (on prend q = p + 1)
ce qui signifie que lim Un= O. On a donc:
n-++oo
THÉORÈME 11. 7. - Si une série u de terme gériéral Un est convergente, on
a lim Un =0.
•
n-++oo
Application pour la série géométrique des kn, n EN, si lkl ~ 1, pour tout
non a lknl ~ 1 donc le terme général ne tend pas vers 0 : la série diverge.
•
REMARQUE 11.8. - Il ne suffit pas que le terme gériéral d'une série tende
vers 0 pour qu'elle converge : prenons par exemple dans IR la série de terme
1
général Un = - -. Il tend vers 0 et pourtant la série diverge car, pour
n+l
les sommes partielles, on a
1
1
1
1
U2n-l - Un-1 = n + 1 + ... + 2n ~ n. 2n = 2'
si la série convergeait, en notant U sa somme on devrait avoir
lim (U2n-l - Un-1) = U - U = 0: c'est absurde.
n-++oo
Conséquence : faire calculer la somme d'une série dont on ne sait pas si
elle converge, par un ordinateur, en lui disant de s'arrêter quand la suite
des sommes partielles devient stationnaire relève de la fumisterie ou de
la naïveté. L'ordinateur ne fera pas le travail de justification pour vous.