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Analyse fonctionnelle
11.3. On notera encore u = ( (Un) )nEN la série de terme général Un, et on
parlera de la série des Un· Le travail qui nous attend, c'est d'obtenir des
résultats pour la suite des Un en examinant seulement les Un.
DÉFINITION 11.4. - Soit u une série de terme général Un dans E espace
vectoriel normé. Elle est dite convergente, de somme U si et seulement si
la suite de_s sommes partielles Un converge, avec U = lim Un.
n-++oo
La série sera dite divergente si elle ne converge pas.
11.5. En cas de convergence l'élément Rn = U -Un est appelé reste d'ordre
n de la série.
OO
On note parfois U = L Uk la somme de la série u des Uk> en cas
k=O
OO
de convergence, et Rn = L uk le reste d'ordre n, bien qu'il s'agisse
k=n+l
de limites qui, nous le verrons, n'ont pas tout à fait les propriétés des
sommes.
11.6. Un exemple, la série géométrique
On va considérer d'abord un exemple simple, où on pourra calculer
effectivement les sommes partielles.
Soit, dans E = IR, la série u de terme général Un = kn avec k fixé
dansR
Uidentité 1 - kn+l = (1 + k + k 2 + ... + kn)(l - k) fournit, pour
k =f=. 1, l'égalité
2
n
1- kn+l
Un = 1 + k + k + ... + k =
k
1On sait alors que, si lkl < 1, lim kn+l = 0, donc
n-++oo
1 .
u.
1
1 , .
"t
1
.
im
n = - 1 k : a sene converge, on connai sa somme, - 1 k, mais
n-++oo
-
-
kn+l
aussi son reste d'ordre n, Rn = 1 _ k.
Par contre, si lkl ~ 1, la série des kn est divergente. A ce stade ce
n'est pas tout à fait évident mais on va établir un résultat qui va nous
permettre de conclure.