CHAPITRE 11
Séries numériques
séries dans les espaces vectoriels normés
Comment donner une idée amusante des séries? En pensant peut
être aux pyramides, ou aux cairns en montagne, c'est-à-dire à une œuvre
obtenue en rajoutant sans arrêt un petit quelque chose, un caillou. Ou bien
un stalagmite auquel chaque goutte qui tombe apporte quelques grains de
calcite ... ou à un objet en laque, obtenu par couches successives.
La formulation mathématique de ces ajouts va donc faire intervenir
une addition, et un passage à la limite : le cadre tout trouvé des séries
sera donc celui des espaces vectoriels normés.
1. Vocabulaire
DÉFINITION 11.1. - Soit un espace vectoriel normé E. On appelle série à
valeurs dans E tout couple ( u, U) de deux suites d'éléments de E telles que
pour tout n de 1\1, Un = uo + u1 + ... +.un, soit le terme général de la
suite U, avec Uk terme général de la suite u.
Cette définition est ridicule par excès de formalisme. Comment prendre au sérieux les mathématiques quand on lit des choses pareilles!
Mais est-il nécessaire de prendre les mathématiques trop au sérieux?
11.2. En somme, une série, c'est une suite u = ( Un)n.EN mais à partir de laquelle on s'intéresse à une nouvelle suite, de terme général
Un = uo + u1 + ... +Un. appelé somme partielle d'ordre n de la série
des uk.
Séries numériques
séries dans les espaces vectoriels normés
Comment donner une idée amusante des séries? En pensant peut
être aux pyramides, ou aux cairns en montagne, c'est-à-dire à une œuvre
obtenue en rajoutant sans arrêt un petit quelque chose, un caillou. Ou bien
un stalagmite auquel chaque goutte qui tombe apporte quelques grains de
calcite ... ou à un objet en laque, obtenu par couches successives.
La formulation mathématique de ces ajouts va donc faire intervenir
une addition, et un passage à la limite : le cadre tout trouvé des séries
sera donc celui des espaces vectoriels normés.
1. Vocabulaire
DÉFINITION 11.1. - Soit un espace vectoriel normé E. On appelle série à
valeurs dans E tout couple ( u, U) de deux suites d'éléments de E telles que
pour tout n de 1\1, Un = uo + u1 + ... +.un, soit le terme général de la
suite U, avec Uk terme général de la suite u.
Cette définition est ridicule par excès de formalisme. Comment prendre au sérieux les mathématiques quand on lit des choses pareilles!
Mais est-il nécessaire de prendre les mathématiques trop au sérieux?
11.2. En somme, une série, c'est une suite u = ( Un)n.EN mais à partir de laquelle on s'intéresse à une nouvelle suite, de terme général
Un = uo + u1 + ... +Un. appelé somme partielle d'ordre n de la série
des uk.