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Analyse fonctionnelle
On constate que la fonction constante nulle est solution, donc dans n aucune
autre solution ne s'annule.
On paramètre par y= tx, d'où x 2 y'(2t - 1) = t 2 x 2 , et sur n, (x =/= 0) on
2
a y'= 2 tt- 1 . On en déduit
t2
dy = tdx + xdt = 2 t _ 1 dx, soit
( t 2
)
t-t 2
2 t _ 1 - t dx = xdt = 2 t _ 1 dx.
On est amené à diviser par t(l - t). Or t = 0 conduit à la solution nulle,
y = 0, déjà trouvée, alors que t = 1 donne y = x, effectivement solution,
(x· 1(2x-x) = x 2 est vérifiée). Comme dans n les solutions ne se recoupent
pas, les autres solutions seront obtenus pour t =/= 0 et t =/= 1, on peut donc
écrire
dx
2t-1
(-1
1 )
x = t(l - t) dt= T + 1- t dt
ce qui conduit à x = t(l ~ t), k constante d'intégration.
Les courbes intégrales sont donc paramétrées par :
k
k
x = t(l _ t) et y = 1 _ t, pour t =/= 0 et =/= 1,
auxquelles il faut adjoindre les droites y = x et y = O.
En fait t = ' !!.. d'où y = ~ = ....!::::..__ et on a aussi la famille de coniques
X
1-X - y
X
d'équations implicites y(x - y) - kx =O.
X
Une étude graphique montre que la droite y = '2' (écartée au départ)
correspond aux points à tangentes verticales de ces hyperboles, qui par
ailleurs, pour x = 0 passent toutes à l'origine, donc en (0, 0) il y a une
infinité de courbes intégrales et en (O, yo) avec yo =/= 0 aucune.