Equations différentielles
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8. Sur 0 = R* x R le théorème de Cauchy Lipschitz s'applique.
9.
Par un point (xo, 0) avec xo "# 0, la solution constante y= 0 passe, c'est la
seule solution qui y passe. Les autres solutions ne s'annulent pas, (sauf peut
être six tend vers 0).
Uéquation est de Bemouilli, on divise par y 2 , elle devient
y 1
1
X
1
x2 - - + e = 0, ou, avec z = - , xz' + z = ex.
y
y
y
Sans second membre on a z = ~. La variation de la constante conduit à
X
1
x
,
x
1
ex +b
.
À = e d'ou À = e + b et z = - = - -. Les solutions cherchées sont
y
X
X
donc du type y = z--b, b constante.
e +
Au voisinage de 0, y= (l + b).: x + o(x) tend vers 0 si b "# -1. On peut
constater que pour b "# -1, il y a prolongement en 0 des solutions : par
(0, 0) passent une infinité de courbes intégrales.
y 2 -x 2 y-2x
Pour x "# 1, on a y' =
3
= f(x, y) avec f continue en
1-x
(x, y), localement Lipschitzienne en y puisque :~ existe en étant continue
donc localement bornée : Cauchy Lipschitz s'applique sur l'ouvert 0 =
(R-{l})xR.
La fonction y= -x 2 est solution, (-2x(l - x 3 ) = x 4 + x 4 - 2x), on pose
y= -x 2 + z dans cette équation de Ricatti. On a:
( -2x + z')(l - x 3 ) = x 4 - 2zx 2 + z 2 + x 4 - x 2 z - 2x
soit z' (1-x 3 ) = -3zx 2 + z 2 équation de Bemouilli dans laquelle on cherche
les solutions ne s'annulant pas.
Avec u = .! on a, en divisant par z 2 ,
z
Uéquation sans second membre, u' (1 - x 3 ) = 3x 2 u conduit à u = 1 .: x 3
d'où, (variation de la constante), -À 1 = 1 donc À= -x +a.
a-x
1-x 3
On obtient u = 1 _ x 3 , donc z = a _ x et les solutions du type
1-x 3
y= -x 2 + - - , a paramètre réel.
a-x
10. Uéquation est homogène et sur 0 = {(x,y) E R 2 ,x "# 0,x "# 2y} le
théorème de Cauchy Lipschitz s'applique.