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Analyse fonctionnelle
alors w'(x) = y(x)z(x)(p(x)-m) est;;?: 0 sur [xo, xo+ ~],donc w croit.
Or z(xo) = z(xo + ~) = 0, et on a z'(x) = y'mcosy'm(x - xo) donc
z'(xo) = .;met z'(xo + ~) = -y'm, d'où w(xo) = VmY(xo) > 0,
alors que w(xo + ~) = -.;my(xo + ~) < 0: w n'est pas croissante.
7r
Donc y s'annule sur [xo,xo + rml·
Justifions le 1er : on a au moins une infinité dénombrable stricte de zéros
vu le
distincts, (zn)neN convergent vers c E [a, b], mais entre Zn et Zn+i. y'
s'annule en Xn, (Rolle) et les Xn convergent vers c, d'où y(c) =y' (c) = 0 et
y serait nulle, la donnée initiale étant nulle.
Comme ]A, +oo[ = LJ [A+ ~, n] et que sur chaque segment les zéros sont
nEN
en nombre fini, on a une famille dénombrable stricte de zéros d'une solution
non nulle, zéro11 de plus isolés.
3) Soit y une solution de y" + 'PY = 0 s'annulant en xo. On a y' (xo) =/: 0,
(sinon y = 0 car la donnée initiale serait nulle).
Soit x1 = inf{x,z zéro de y, x > xo}. Il existe, (on a des zéros sur
[xo + 1, xo + 1 + ~ ]>, et x1 > xo car les zéros sont isolés comme on
l'a vu précédemment. Sur ]xo, x1 [ y garde un signe constant, par exemple
y>O.
Soitu(x) = sinv'M(x-xo). on au> 0 sur ]xo,xo+ ru[ et on considère
h définie par h(x) = y'u - yu', on a
h 1 = y 11 u -yu"= -pyu + yMu = yu(M - p),
avec M - p positive.
Si on avait x1 < xo + ru· y serait positive sur [xo, x1], ainsi que u et
M -p, donc h serait croissante sur ce segment. Or h(xo) = 0 car u(xo) = 0
et y(xo) = 0, alors que h(x1) = y'(x1)u(x1) avec u(x1) >O. Il nous faut
le signe de y' (x1). Mais y' (xo) et y 1 (x1) sont non nuls, (sinon y aurait une
donnée initiale nulle) et comme on a supposé y > 0 sur ]xo, x1 [,le seul choix
possible est y'(xo) > 0 et y 1 (x1) < 0, mais alors h(x1) < 0: la fonction h
n'est pas croissante.
7r
C'est donc que x1;;?: xo + v'M"
Un travail analogue se fait pour x2 = sup {x; y(x) = 0, x < xo} si cet
ensemble est non vide, on a donc une distance de ru au moins entre deux
zeros consécutifs de y.
Analyse fonctionnelle
alors w'(x) = y(x)z(x)(p(x)-m) est;;?: 0 sur [xo, xo+ ~],donc w croit.
Or z(xo) = z(xo + ~) = 0, et on a z'(x) = y'mcosy'm(x - xo) donc
z'(xo) = .;met z'(xo + ~) = -y'm, d'où w(xo) = VmY(xo) > 0,
alors que w(xo + ~) = -.;my(xo + ~) < 0: w n'est pas croissante.
7r
Donc y s'annule sur [xo,xo + rml·
Justifions le 1er : on a au moins une infinité dénombrable stricte de zéros
vu le
distincts, (zn)neN convergent vers c E [a, b], mais entre Zn et Zn+i. y'
s'annule en Xn, (Rolle) et les Xn convergent vers c, d'où y(c) =y' (c) = 0 et
y serait nulle, la donnée initiale étant nulle.
Comme ]A, +oo[ = LJ [A+ ~, n] et que sur chaque segment les zéros sont
nEN
en nombre fini, on a une famille dénombrable stricte de zéros d'une solution
non nulle, zéro11 de plus isolés.
3) Soit y une solution de y" + 'PY = 0 s'annulant en xo. On a y' (xo) =/: 0,
(sinon y = 0 car la donnée initiale serait nulle).
Soit x1 = inf{x,z zéro de y, x > xo}. Il existe, (on a des zéros sur
[xo + 1, xo + 1 + ~ ]>, et x1 > xo car les zéros sont isolés comme on
l'a vu précédemment. Sur ]xo, x1 [ y garde un signe constant, par exemple
y>O.
Soitu(x) = sinv'M(x-xo). on au> 0 sur ]xo,xo+ ru[ et on considère
h définie par h(x) = y'u - yu', on a
h 1 = y 11 u -yu"= -pyu + yMu = yu(M - p),
avec M - p positive.
Si on avait x1 < xo + ru· y serait positive sur [xo, x1], ainsi que u et
M -p, donc h serait croissante sur ce segment. Or h(xo) = 0 car u(xo) = 0
et y(xo) = 0, alors que h(x1) = y'(x1)u(x1) avec u(x1) >O. Il nous faut
le signe de y' (x1). Mais y' (xo) et y 1 (x1) sont non nuls, (sinon y aurait une
donnée initiale nulle) et comme on a supposé y > 0 sur ]xo, x1 [,le seul choix
possible est y'(xo) > 0 et y 1 (x1) < 0, mais alors h(x1) < 0: la fonction h
n'est pas croissante.
7r
C'est donc que x1;;?: xo + v'M"
Un travail analogue se fait pour x2 = sup {x; y(x) = 0, x < xo} si cet
ensemble est non vide, on a donc une distance de ru au moins entre deux
zeros consécutifs de y.