Equations différentielles
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Enfin, si v tend vers 0, x tend vers 0, y vers ~(2 + yo) et y 1 vers 0,
( dy = vdx) : îl y a raccord unique d'une courbe pour v < 0 et v > O.
Le paramétrage est celui des courbes intégrales dans R 2 .
6. Sur] -oo, O[, on a l'équation linéaire -xy' + (x- l)y = x 2 , l'équation sans
second membre y' = (1-.!_ )y a pour intégrale générale y = .>..ef (1-i )dx =
X
X
.>..e:z:-lnl-xl, donc en changeant À en -À, du type y= À~. La méthode de
X
variation des constantes conduit à À 1 = -x 2 e-:z:; on cherche ).. du type
( ax 2 + bx + c )e-x, d'où la condition -ax 2 - bx - c + 2ax + b = -x 2 , qui
x 2 +2x+2
ex
conduit à : a = 1, b = 2, c = 2 et une solution en y =
+ µx
X
pourx
conduit à : y' = ( .!_ - l)y pour l'équation sans second membre, d'où
X
y = Àxe-x, or y = x est solution particulière, d'où l'espace affine des
solutions : y= x + Àxe-x sur ]O, +oo[.
Y-a-t-il des solutions définies sur R? Pour cela il faut que y et y' soient
prolongeables par continuité en 0, (si on veut avoir y' continue).
2 + µ + x(2 + µ) + x 2 (1 + ~) + o(x 2 )
Pour x < 0, x proche de 0, y =
on
X
doit. avoirµ= -2 pour prolonger par continuité, avec lim y(O) = 0 dans
x-oce cas et lim y' ( 0) = 0 aussi.
x-o
Or, pour x > 0, y= x(l +À) -Àx 2 + o(x 2 ) donc, si À= -1 on aura aussi
lim y' = 0 et lim y = O.
x-o+
x-o+
Donc pour À = -1 etµ = -2, on définit une (et c'est la seule) solution
surR.
·
7. La 1er est une conséquence du 2e car si zo est un zéro d'une solution sur
~
.
2~
3~
[xo, xo + t.=l' il y aura un zéro z1 sur [xo + t.=' xo + t.=l forcément
ym
. ym
ym
distinct de zo, et ainsi de suite, les intervalles [xo+ ~' xo+(2p+l) .0nJ
étant disjoints, une suite (zp) de zéros distincts. On verra de plus que les
zéros sont de cardinal dénombrable.
Justifions le~- Soit y une solution de y"+ p(x)y = 0 et z une solution de
z" + mz = O. On «entrelace » y et z en considérant w = yz' - y' z. On a
w' = yz" - y" z donc w' = y(-mz) - z(-p(x)y) = yz(p(x) - m), avec
p(x)-m ~O.
~
Supposons que y ne s'annule pas sur [xo, xo + Vm], par exemple y reste
>O. On prend z définie par z(x) = sinvm(x - xo) dans ce qui précède,
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Enfin, si v tend vers 0, x tend vers 0, y vers ~(2 + yo) et y 1 vers 0,
( dy = vdx) : îl y a raccord unique d'une courbe pour v < 0 et v > O.
Le paramétrage est celui des courbes intégrales dans R 2 .
6. Sur] -oo, O[, on a l'équation linéaire -xy' + (x- l)y = x 2 , l'équation sans
second membre y' = (1-.!_ )y a pour intégrale générale y = .>..ef (1-i )dx =
X
X
.>..e:z:-lnl-xl, donc en changeant À en -À, du type y= À~. La méthode de
X
variation des constantes conduit à À 1 = -x 2 e-:z:; on cherche ).. du type
( ax 2 + bx + c )e-x, d'où la condition -ax 2 - bx - c + 2ax + b = -x 2 , qui
x 2 +2x+2
ex
conduit à : a = 1, b = 2, c = 2 et une solution en y =
+ µx
X
pourx
conduit à : y' = ( .!_ - l)y pour l'équation sans second membre, d'où
X
y = Àxe-x, or y = x est solution particulière, d'où l'espace affine des
solutions : y= x + Àxe-x sur ]O, +oo[.
Y-a-t-il des solutions définies sur R? Pour cela il faut que y et y' soient
prolongeables par continuité en 0, (si on veut avoir y' continue).
2 + µ + x(2 + µ) + x 2 (1 + ~) + o(x 2 )
Pour x < 0, x proche de 0, y =
on
X
doit. avoirµ= -2 pour prolonger par continuité, avec lim y(O) = 0 dans
x-oce cas et lim y' ( 0) = 0 aussi.
x-o
Or, pour x > 0, y= x(l +À) -Àx 2 + o(x 2 ) donc, si À= -1 on aura aussi
lim y' = 0 et lim y = O.
x-o+
x-o+
Donc pour À = -1 etµ = -2, on définit une (et c'est la seule) solution
surR.
·
7. La 1er est une conséquence du 2e car si zo est un zéro d'une solution sur
~
.
2~
3~
[xo, xo + t.=l' il y aura un zéro z1 sur [xo + t.=' xo + t.=l forcément
ym
. ym
ym
distinct de zo, et ainsi de suite, les intervalles [xo+ ~' xo+(2p+l) .0nJ
étant disjoints, une suite (zp) de zéros distincts. On verra de plus que les
zéros sont de cardinal dénombrable.
Justifions le~- Soit y une solution de y"+ p(x)y = 0 et z une solution de
z" + mz = O. On «entrelace » y et z en considérant w = yz' - y' z. On a
w' = yz" - y" z donc w' = y(-mz) - z(-p(x)y) = yz(p(x) - m), avec
p(x)-m ~O.
~
Supposons que y ne s'annule pas sur [xo, xo + Vm], par exemple y reste
>O. On prend z définie par z(x) = sinvm(x - xo) dans ce qui précède,