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Analyse fonctionnelle
La relation f (x, y 1 ) = y
13 - 2xy
12 - 2x = 0 permet de tirer y' fonction de
classe C 00 de x, par le théorème des fonctions implicites si Z #O.
Or Z = 3y 12 - 4xy' = y 1 (3y 1 - 4x). Si on a, à la fois, Z = 0 et f = 0
c'est que soit y' = 0 et x = 0, soit 3y 1 = 4x et 2y
13 - 4xy
12 - 4x = 0 soit
encore
'3
'3
'
'3
'
/ 1 2
2y - 3y - 3y = -y - 3y = -y (y + 3) = 0
d'où là encore y' = 0 et x = O.
Si on suppose donc x # 0, soit sur l'ouvert R* x R de R 2 on peut tirer
implicitement y' fonction de classe C 1 de X et~· le théorème de Cauchy
Lipschitz s'applique et par tout point de S1 = R X R il passe une et une
seule courbe intégrale restant dans n.
L'équation est incomplète. La cubique 2u(l + v 2 ) - v 3 = 0 se paramètre en
v3
U = 2(1 + v2) 'V = V.
On pose donc
' d y
v3
d''
y = dx = v et x = u = 2 ( 1 + v2) ou
3v 2 (1 + v 2 ) - 2v 4
v 2 (v 2 + 3)dv
dy = vdx avec dx =
2 ( 1 + v2)2
dv = 2 ( 1 + v2)2
d'où
donc
v4+3v 2
1 (
1
2
)
2
dy= 2(1+v2)2vdv= 4 1+ l+v2 - (l+v2)2 d(v)
{
y= ~(v 2 + Log(l + v 2 ) + 1 : v 2 + Yo)
v3
x- - - - = -
- 2(1 +v 2 )
est une paramétrisation des courbes intégrales, Yo constante d'intégration.
On constate que pour un x = a # 0 donné, et y = /3, il existe un seul v # 0
1
1
1
.
1
1
1
tel que - 2 = 3 +-,car l'équation du 3e degré 3 + - - - 2 = 0 est
a
V
V
V
V
a
27
telle que 4p 3 + 27 q 2 = 4 + 402 > O.
Pour ce v trouvé, il y a un seul Yo tel que y(v) = {3.
L'abscisse ne s'annule que si v = O. Si v E]O, +oo[ x décrit ]O, +oo[ de
"è
( 1
1
1 ,,
. décro"
d )
.
.
mam re monotone, - 2 = - + 3 .onction
issante e v , et s1 Yo vane
X
V
V
les courbes intégrales se déduisent l'une de l'autre par translation parallèle
àOy.