Equations différentielles
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Sauf erreur, on trouve pour vecteurs propres V2 = (1, 2, 1) et V 1 ±iv'2 =
(±iv'2, -1, 1), d'où les solutions sur C en
( 1)
(iv'2)
(-iv'2)
Z(t) = o.e2t ~ + ,Bet(l+iv'2)
-~ + -yet(l-iv'2)
-~
et sur R, avec 'Y = 7J = À - iµ
X(t) =o. 2e 2 t
+ 2et
-Àcos v'2t +µsin v'2t
(
e2t )
(-v'2(Asin v'2t +µcos v'2t))
e 2 t
Àcos v'2t - µsin v'2t
ou encore
4.
On a un espace vectoriel de solutions de dimension 4, (si on ramène au 1er
ordre, on est sur R 4 ).
Si on somme les équations, avec z = x + y on a z 11 = o.z avec o. =I= 0, que
l'on sait intégrer sur R. Si o. = w 2 est positif on aura z(t) = aewt + bewt,
et si o.= -w 2 est négatif ce sera z(t) = acoswt + bsinwt.
Poursuivons avec o. = w 2 > O.
La première équation s'écrit x" = (o.+ ,B)x + ,By = o.x + ,B(x +y) avec
x + y = z connu, soit encore
x 11 - o.x = ,Baewt + ,Bbe -wt.
Uéquation sans second membre, x" - o.x = 0 donne x = uewt + ve-wt.
On cherche une solution particulière, (avec second membre) de la forme
x = (u1t+v1)ewt +(u2t+v2)e-wt, (w et -w racines simples de l'équation
caractéristique) ce qui après des calculs d'identification, conduit sauf erreur,
à:
{
x(t) = ,Batewt - ,Bb te-wt + cewt + de-wt
2w
2w
y(t) = a(l - ,Bt )ewt + b(l - ,Bt )e-wt + cewt + de-wt
2w
2w
'
avec a, b, c, d, 4 constantes d'intégration.
Il y aurait lieu ensuite de traiter le cas de o. = -w 2 .
5. Uéquation du troisième degré y 13 -2xy 12 -2x = 0 n'admet pas de solutions
c:Onstantes, (y 1 = 0 sur un intervalle, nécessite x = 0 sur cet intervalle).