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Analyse fonctionnelle
a fortiori on a, puisque p( x) > 0 si x ;;i: a,
2( )
2( ) y
12 (a)
y x ~ y a + p(a) , constante.
La solution y est bornée sur [a, +oo[, et sur [O, a] compact, où elle est
continue, donc elle est bornée sur [O, +oo[.
2
2
2.
On a l!"(t)-sin(t)I = e-t lf(t)I ~ e-t llflloo puisque f est bornée,
ceci sur [1, +oo[ donc l'intégrale 1+oo (/ 11 - sin t)dt est absolument convergente.
2
De plus on a e-t ~ e-t si t ;;i: 1 d'où:
d'où, pour
X ;;i: 1 _ llflloo ~ J'(x) + COSX - J'(l) - cos 1 ~ llflloo
'
e
e '
d'où l'on tire:
_llflloo +f'(l)+cosl-cosx ~ J'(x) ~ -cosx+f'(l)+cosl+ llflloo
e
e
et en fait
lf'(x)I ~ B = ll/lloo + 2 + IJ'(l)j.
e
r+oo
1+00
Mais J 1 f 2 converge et 1f'1 bornée : on a 1
/ 2 f' absolument
convergente. Donc, avec I(x) = lx / 2 / 1 = ~(/ 3 (x) - f 3 (1)) on a
lim I(x) qui existe, d'où finalement lim / 3 (x) = l existe.
x-+oo
x-+oo
Sil =f. 0, on aura lim f 2 (x) = l 2 1 3 > 0, ce qui est absurde car
f 2
1 +00
x-+oo
1
converge, donc finalement lim f = O.
x-+oo
3.
La matrice A = ( - ~ ~ - ~ ) a pour polynôme caractéristique
1 0
1
(1- ..X)(2 -À)(l -À)+ 1 + (2-À) + (1- À)= (2 - ..X)[(l - ..X) 2 + 2], de
valeurs propres distinctes sur C, 2 et 1 ± iv'2.