Equations différentielles 433
5. Résoudre l'équation différentielle 2x(l + y 12 ) - y' 3 =O.
6. Intégrer l'équation différentielle lxly' + (x - l)y = x 2 •
7. Soit p E c 0 (]A, +oo[, R). On suppose que pour x ~ A on a
0 < m ~ p(x) ~M. Soit l'équation différentielle y 11 + p(x)y =O.
1) Montrer que l'ensemble des zéros d'une solution est dénombrable
strict si cette solution est non nulle.
2) Soit xo > A. Montrer que toute solution s'annule sur
7r
[xo,xo + rml·
3) Montrer que les zéros d'une solution non nulles sont isolés et que
.
7r
la distance entre deux zéros consécutifs est ou moins de ../M.
8. Intégrer l'équation différentielle xy 1 + y 2 ex - y= O.
9. Intégrer l'équation différentielle y 1 (1 - x 3 ) = y 2 - x 2 y- 2x.
10. Intégrer l'équation différentielle xy 1 (2y - x) = y 2 .
SOLUTIONS
1.
Comme lim p(x) = +oo, 3a > 0, \;/x ~a, p(x) >O.
x-++oo
Soit y une solution de ( E), si on considère la fonction z défi.nie par
'2
z(x) = y 2 + L, sur [a, +oo[, on a
p
2 ' Il
'
2 '
1 2
'
'
y y
'2 p
y (py
")
,y
z = 2yy + - - - y - = -
+y - p - ,
p
p2
p
p2
'2
soit z' = -p' ~ puisque y est solution de (E). Comme p est croissante, on
p
a z' ~ 0, z décroît d'où, \;/x ~ a,
2
y 12
2
y 12 (a)
y (x) + p(x) ~y (a)+ p(a) ,