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Analyse fonctionnelle
18.86. Equation de Lagrange, (ou à isoclines rectilignes). Ce sont des
équations du type y = xf(y') + g(y').
18.87. On appelle isocline de pente m l'ensemble des points du plan où
passe une courbe intégrale telle qu'en ces points y 1 = m.
L'isocline de pente m est donc sur la droite d'équation y= xf(m) +
g(m), d'où le terme isocline rectiligne.
On paramètre les solutions en fonction de t = y'. On a donc dy = tdx
et y = xf(t) + g(t) qui donne dy = f(t)dx + (xf'(t) + g 1 (t))dt, d'où
l'égalité
(t - f(t)) dx = (xf'(t) + g'(t))dt
soit encore
(t - f(t)) ~; - f'(t)x = g'(t)
équation linéaire en x, (sauf si f(t) = t pour tout t), d'où x fonction de t,
puis y= xf(t) + g(t) aussi fonction de t.
18.88. Le cas f(t) = t pour tout t, c'est-à-dire y = xy 1 + g(y') : c'est
l'équation de Clairaultetlemême procédé la ramène à (x+g'(t))dt = 0
Les droites d'équation y = xm + g(m), (m constante) sont des
solutions, et la courbe paramétrée
{
X= -g 1 (t)
y= xt + g(t) = -g'(t)t + g(t)
est une autre solution enveloppe des précédentes en fait.
Un mot pour terminer des équations différentielles d'ordre 2 de
quelq~s types.
Incomplètes : on se ramène au 1er ordre.
Dans f(x, y', y")= 0, on pose y'= z, on a f(x, z, z') =O.
Dans f (y, y 1 , y 11 ) = 0 on cherche y 1 fonction de y.
dy'
dy
Si on pose y' = cp(y),y'' = - = cp 1 (y)- = cp 1 cp et on résoud
dx
dx
l'équation du 1er ordre f(y, cp, cpcp 1 ) = 0