'
Equation homogène en F(x, !. ) =O.
y
Equations différentielles
429
Comme on travaille sur des intervalles où y, continue car dérivable,
ne s'annule pas, on posez = Log lyl, (y de signe constant), et on a une
équation incomplète F(x, z 1 ) =O.
'
Enfin, si on a F(y, !. ) = 0, comme x est sensé ne pas s'annuler, on
X
2
y'
dy
2dy
2dy
.
. .
'
pose x = t, - = -d = - 2 d = -d , et on étudie l'équation mcomplete
X
XX
XX
t
F(y, 2 ~~) = 0 qui donnera (peut être), y fonction de t = x 2 .
18.84. Equation de Bernouilli: du type y 1 + P(x)y + Q(x)yn =O. On
constate que si P et Q sont continues, en posant f(x, y) = P(x)y +
Q(x)yn on a f continue en (x, y), localement Lipchitzienne en y, (le
théorème des accroissements finis s'applique) donc, (Cauchy Lipschitz) par
tout point du plan il passe une et une seule courbe intégrale d'équation
y= cp(x), maximale. J'oubliai de dire que n est entier~ 2.
La solution y = 0 comqent, donc tout autre solution ne s'annule pas,
(si y(xo) = 0, y est nulle: Wiicité de la solution de donnée initiale (xo, 0) ).
'
1
Ceci justifie la division par yn, on obtient l'équation ]!_ + P( x ) - - 1 +
yn
yn1
-u'
Q(x) = 0, où, avec u = yn-l' on a n _ 1 + P(x)u + Q(x) = 0, équation
linéaire en u, d'où u, d'où y.
18.85. Equation de Ricatti: du type y'+ A(x)y 2 + B(x)y + C(x) =O.
Là encore, si A, B, C sont continues, Cauchy Lipschitz s'applique
partout sur IR 2 •
.
Si on connaît une solution particulière, Yl, on pose y = Yl + z et z ne
pourra s'annuler sans être identiquement nulle, pour y solution.
On obtient y solution si
z' +YI+ A(x)(y~ + 2y1z + z 2 ) + B(x)y1 + B(x)z + C(x) = 0
soit, Yl étant solution, si
z' + A(x)z 2 + (2A(x)y1(x) + B(x))z = 0:
on est ramené au type Bernouilli.