Equations différentielles
427
(!, cp) avec I intervalle de IR, I, (x, cp(x), cp 1 (x)) E A et f(x, cp(x), cp 1 (x)) =O.
Mais on peut avoir un point de vue géométrique et chercher des courbes
intégrales.
En effet, à une solution (J, cp) de (E) on peut associer l'arc r =
{x,cp(x)); x E J}.
Par ailleurs on peut aussi définir des arcs de IR 2 par une paramétrisation, c'est-à-dire se donner un intervalle J de R et deux applications u et
V de J dans IR et considérer l'ensemble ri = {(u(t), v(t)); t E J}.
On suppose en outre u et V de classe ci.
Un point M = (u(to),v(to)) est dit régulier sur (I'i) si le vecteur
(u'(to), v'(to)) de IR 2 est non nul. Mais alors, si u'(to) =/: 0, on a localement
u monotone, on peut l'inverser et, avec t = u-i(x), obtenir une équation
cartésienne d'un sous-arc de I' i, du type y = V o U-i (X).
Si v'(to) =/: 0, on aura localement une équation cartésienne x =
u o v-i(y).
Enfin on a vu, (en 17.13), que si g est une fonction de classe ci de 0
ouvert de IR 2 dans R, l'ensemble
I'3 = {(x,y) E O,g(x,y) = 0 et dg(x,y) =/: O}
est un arc de courbe dit d'équation implicite g(x, y) = 0, puisqu'on peut
localement tirer y fonction de x, ou x fonction de y.
Il résulte de ce bref aperçu, qu'au lieu de chercher des fonctions y de x,
solutions de ( E), on peut obtenir des courbes intégrales en paramétrique
ou en implicite, d'où, pour les portions d'arcs convenables, une fonction y
de x solution.
Les procédés d'intégration que nous allons considérer conduisent ainsi
à des paramétrisations ou des équations implicites
18.81. Equations à variables séparées
Elles s'écrivent sous la forme f(x)dx = g(y)dy.
Si F et G sont des primitives de f et g, les courbes d'équation implicite
F(x) - G(y) =constante sont courbes intégrales.
18.82. Equations incomplètes, du type f(x, y') = 0 ou J(y, y') = O. Si
on sait paramétrer l'arc d'équation f ( u, v) = 0 on sait les «résoudre », les
guillements pour rappeler qu'une étude précise nécessite la détermination
des ouverts sur lesquels on peut tirer y' fonction de x ou de y, appliquer
Cauchy Lipschitz et recoller les morceaux.
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(!, cp) avec I intervalle de IR, I, (x, cp(x), cp 1 (x)) E A et f(x, cp(x), cp 1 (x)) =O.
Mais on peut avoir un point de vue géométrique et chercher des courbes
intégrales.
En effet, à une solution (J, cp) de (E) on peut associer l'arc r =
{x,cp(x)); x E J}.
Par ailleurs on peut aussi définir des arcs de IR 2 par une paramétrisation, c'est-à-dire se donner un intervalle J de R et deux applications u et
V de J dans IR et considérer l'ensemble ri = {(u(t), v(t)); t E J}.
On suppose en outre u et V de classe ci.
Un point M = (u(to),v(to)) est dit régulier sur (I'i) si le vecteur
(u'(to), v'(to)) de IR 2 est non nul. Mais alors, si u'(to) =/: 0, on a localement
u monotone, on peut l'inverser et, avec t = u-i(x), obtenir une équation
cartésienne d'un sous-arc de I' i, du type y = V o U-i (X).
Si v'(to) =/: 0, on aura localement une équation cartésienne x =
u o v-i(y).
Enfin on a vu, (en 17.13), que si g est une fonction de classe ci de 0
ouvert de IR 2 dans R, l'ensemble
I'3 = {(x,y) E O,g(x,y) = 0 et dg(x,y) =/: O}
est un arc de courbe dit d'équation implicite g(x, y) = 0, puisqu'on peut
localement tirer y fonction de x, ou x fonction de y.
Il résulte de ce bref aperçu, qu'au lieu de chercher des fonctions y de x,
solutions de ( E), on peut obtenir des courbes intégrales en paramétrique
ou en implicite, d'où, pour les portions d'arcs convenables, une fonction y
de x solution.
Les procédés d'intégration que nous allons considérer conduisent ainsi
à des paramétrisations ou des équations implicites
18.81. Equations à variables séparées
Elles s'écrivent sous la forme f(x)dx = g(y)dy.
Si F et G sont des primitives de f et g, les courbes d'équation implicite
F(x) - G(y) =constante sont courbes intégrales.
18.82. Equations incomplètes, du type f(x, y') = 0 ou J(y, y') = O. Si
on sait paramétrer l'arc d'équation f ( u, v) = 0 on sait les «résoudre », les
guillements pour rappeler qu'une étude précise nécessite la détermination
des ouverts sur lesquels on peut tirer y' fonction de x ou de y, appliquer
Cauchy Lipschitz et recoller les morceaux.