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Analyse fonctionnelle
(on développe par rapport à la dernière ligne det (A- >.In), voir le calcul
fait en Algèbre, en 10.45, où on travaille en colonnes).
Si >.1, ... , >.k sont les racines distinctes de XA(>.), de multiplicités
respectives mi, ... , mk, les formules 18.74 montrent alors que y sera une
combinaison linéaire des fonctions t "V+ tqe>..;t, pour 0 ~ q ~ mi - 1 et
pour j = 1, 2, ... , k.
On a donc, en notant e l'espace vectoriel des solutions de 18. 78,
e c Vect{tqe>..;t; j = 1, 2, ... , k; 0 ~ q ~mi - 1},
avec e de dimension n et avec n fonctions du type tqe>..;t : c'est que
e = Vect{tqe>..;t; j = 1, 2, ... k; 0 ~ q ~mi - 1} et que ces n fonctions
sont indépendantes.
On connaît donc la forme de l'intégrale générale de 18. 78, et on peut
remarquer qu'en cherchant une solution de 18. 78 sous la forme t "V+ èt,
on est conduit à avoir >. vérifiant
équation caractéristique du système, ce qui est une recette ou un moyen
mnémotechnique de se rappeller le résultat.
•
Le lecteur curieux, (en existe-t-il), aura remarqué le lien avec l'étude
des suites récurrentes : voir Tome 2, Théorème 10.24.
7. Quelques recettes de cuisine
On rencontre souvent les équations différentielles du premier ordre
bien avant de disposer du théorème de Cauchy Lipschitz et on est conduit
à employer des procédés d'intégration sur le bien fondé desquels on se
pose souvant des questions. Je vais tenter un mot d'explication et, si je ne
parviens pas à clarifier les choses, du moins je vous donnerai entre autre
la recette des coquilles Saint Jacques et du cassoulet. Ne cherchez pas, il
n'y a aucun rapport, mais c'est bon quand même.
Considérons une fonction f définie sur une partie A de R 3 , et l'équation différentielle
(E) : f(x, y, y') =O.
Dans tout ce qui précède nous avons eu un point de vue fonctionnel, en
cherchant des fonctions y de x, solutions de (E), c'est-à-dire des couples
Analyse fonctionnelle
(on développe par rapport à la dernière ligne det (A- >.In), voir le calcul
fait en Algèbre, en 10.45, où on travaille en colonnes).
Si >.1, ... , >.k sont les racines distinctes de XA(>.), de multiplicités
respectives mi, ... , mk, les formules 18.74 montrent alors que y sera une
combinaison linéaire des fonctions t "V+ tqe>..;t, pour 0 ~ q ~ mi - 1 et
pour j = 1, 2, ... , k.
On a donc, en notant e l'espace vectoriel des solutions de 18. 78,
e c Vect{tqe>..;t; j = 1, 2, ... , k; 0 ~ q ~mi - 1},
avec e de dimension n et avec n fonctions du type tqe>..;t : c'est que
e = Vect{tqe>..;t; j = 1, 2, ... k; 0 ~ q ~mi - 1} et que ces n fonctions
sont indépendantes.
On connaît donc la forme de l'intégrale générale de 18. 78, et on peut
remarquer qu'en cherchant une solution de 18. 78 sous la forme t "V+ èt,
on est conduit à avoir >. vérifiant
équation caractéristique du système, ce qui est une recette ou un moyen
mnémotechnique de se rappeller le résultat.
•
Le lecteur curieux, (en existe-t-il), aura remarqué le lien avec l'étude
des suites récurrentes : voir Tome 2, Théorème 10.24.
7. Quelques recettes de cuisine
On rencontre souvent les équations différentielles du premier ordre
bien avant de disposer du théorème de Cauchy Lipschitz et on est conduit
à employer des procédés d'intégration sur le bien fondé desquels on se
pose souvant des questions. Je vais tenter un mot d'explication et, si je ne
parviens pas à clarifier les choses, du moins je vous donnerai entre autre
la recette des coquilles Saint Jacques et du cassoulet. Ne cherchez pas, il
n'y a aucun rapport, mais c'est bon quand même.
Considérons une fonction f définie sur une partie A de R 3 , et l'équation différentielle
(E) : f(x, y, y') =O.
Dans tout ce qui précède nous avons eu un point de vue fonctionnel, en
cherchant des fonctions y de x, solutions de (E), c'est-à-dire des couples