Equations différentielles
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REMARQUE 18.76. - Partant du système 18.69 : Y'(t) = A(Y(t)), si
on sait trigonaliser A, avec P régulière, (et constante en t) telle que
p- 1 AP = B soit triangulaire, (18.69) # p- 1 Y'(t) = (P- 1 AP)
(P- 1 Y(t)), donc en posant Z(t) = p- 1 Y(t), on aura Z'(t) = p- 1 Y'(t)
et (18.69) # Y(t) = PZ(t) avec Z'(t) = BZ(t) qui se développe en:
18.77.
{
z~ (t) = buz1 (t) + ... + binzn(t)
~~~~). ~ .~~~~~~t·)· ~::: ~ .b.2~~~~~).
z~(t) =
bnnZn(t)
Le système 18. 77 s'intègre en remontant, la dernière équation donnant
Zn(t) = (cte)eb,.,,,.,,t, d'où
Z~-1 = bn-1,n-lZn + bn-1,n(cte)ebnnt
linéaire du 1er ordre que l'on sait intégrer, et on obtient ainsi successivement chaque Zj(t).
Cas d'une équation scalaire d'ordre n à coefficients constants,
18.78. y(n)(t) + aly(n-l)(t) + ... + any(t) =o.
L'étude théorique, (Théorème 18.60) conduit à dire que les solutions
de 18. 78 forment un espace vectoriel de dimension n, et que ce sont les
premières composantes des solutions du système
18.79. Y'(t) = AY(t), avec
0
1
0
0
A
0
1
0
0
1
-an -an-1 -an-2 . . . -a1
L'étude précédente, (A diagonalisable ou non), conduit à chercher les
valeurs propres de A, racines du polynôme caractéristique