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Analyse fonctionnelle
directe des k sous-espace caractéristiques Cj =Ker (a - Àjid)mj, Cj de
dimension mj. (Algèbre, corollaire 10.53).
Pour chaque j fixé, avec j ~ k, soit Z1 JÎ Z2 JÎ ••• , Zm. 3 · une base de
'
,
,,
Ci.
On sait alors que la solution prenant la valeur Zp,j, (pour 1 ~ p ~
mj), pour t = to est donnée par Yp,j(t) = (e (Théorème
18.67).
Or (t - to)a = (t - to)(a + Àjid - Àjid)
= (t - to)Àjid + (t - to)(a - Àjid),
l'homothétie (t - to)Àjid commutant à (t - to)(a - Àjid).
Il en résulte que e donc Yp,j(t) = e q=O
et comme Zp,j E Cj = Ker(a -Àjid)mi, la série est tronquée au rang
mj -1 d'où:
Pour Àj valeur propre de multiplicité mj, et pour Zp,j dans le sousespace caractéristique Cj = Ker (a - Àjid)mi, la solution de 18.66 :
y 1 (t) = a(y(t)) valant Zp,j si t = to est donnée par
Yp,j(t) = (mf 1 e q=O
En particulier, les n solutions (Yp,j ), pour j
1 ~ p ~ mj, définies par.
1, ... , k, et pour
18.74. Yp,j(t) = (1:
1
:~ eÀit(a - Àjid)q) (Zp,j), sont n solutions
q=O
indépendantes de 18.66 puisque pour t = 0 elles valent Zp,j et que les
k
(Zp,j) i.;;;.;;k forment une base de en= E = .œ Cj.
lE;pE;m;
J=l
On a donc ainsi l'intégrale générale de 18.66 lorsque a n'est pas
diagonalisable.
REMARQUE 18. 75. - Pour les valeurs propres complexes, Àj et Àj de même
multiplicité, avec Zp,j et Zp,j• on obtient des solutions réelles en prenant
les parties réelles et imaginaires des Yp,j en fait.