Equations différentielles 423
Or À1 + ... +Àn = trace (a) et det ( C1 I· .. ,Cn) = W(O), on retrouve
la formule
W(t) = ef;(tracea)dsW(O) = e(tracea)tw(O)
justifiée en 18.46.
REMARQUE 18. 72. - Si A est diagonalisable sur C, on peut prendre une
base de vecteurs propres deux à deux conjugués pour les valeurs propres
complexes conjuguées.
Si À E C ' R est valeur propre de a, de vecteur propre associé Z,
les deux fonctions t - e.Xt Z et t - e>..t Z sont dérivables de IR dans C
et vérifient l'équation différentielle z'(t) = a(z(t)), (car a(Z) = ÀZ et
a(Z) = AZ), et si À = a+ i{3, (a et {3 réels) et Z = X + iY, (X et Y,
vecteurs colonnes dans !Rn), on a z(t) = e.Xt Z qui s'écrit:
z(t) = e°'t(cos{3t + isin{3t)(X + iY) soit
z(t) = (e°'tcos{3t)X - (e°'tsinf3t) Y+ i ((e°'tsin{3t)X + (e°'tcos{3t)Y)
et les deux fonctions
et
u: t - (eatcosf3t) X - (e°'tsinf3t) Y
v: t - (eatsinf3t) X+ (e°'tcosf3t) Y
qui sont encore définies par 2u(t) = z(t) + z(t) et 2iv(t) = z(t) - z(t),
sont des solutions de 18.66, valant X et Y si t = 0, donc indépendantes
car Z et Z le sont comme vecteurs propres pour À et ' X distincts, et on
passe de (Z, Z) à (X, Y) par la matrice régulière ( Î li), d'où X et
Y indépendants sur C donc sur R.
2 2i
On obtient donc facilement l'intégrale générale de y' ( t)
lorsque a est diagonalisable sur R, (ou C).
a(y(t))
•
On poursuit l'étude sur C, (en travaillant avec des expressions conjugués on obtient les solutions réelles) et on suppose cette fois :
18. 73. Deuxième cas : A non diagonalisable
Soit Ài, ... , Àk les valeurs propres distinces, de multiplicités respectives mi, ... , mk de a. On sait que l'espace vectoriel E =en est somme