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Analyse fonctionnelle
Comme on sait, qu'il n'y a qu'une solution convenant, c'est celle-là. •
COROLLAIRE 18.68. Pour que l'équation différentielle 18.66 : y 1 (t) =
a(y(t)), avec a E Lc(E, E), admette une solution de la forme t ~ e>-tyo,
avec À réel et YO dans E, Banach, il faut et il suffit que À soit valeur propre
de a et YO vecteur propre associé.
En effet t ~ e>-tyo solution équivaut à
mais e>.t est un scalaire et a est linéaire, c'est donc équivalent à
e>-t(Àyo -a(yo)) = 0, soit à a(yo) = ÀYo puisque e>-t =/:- 0: c'est bien avoir
À valeur propre de a et Yo vecteur propre associé.
•
Cas de E = Rn. On considère donc l'équation 18.66 : y'(t) = a(y(t))
avec a opérateur linéaire de E, ou sa traduction matricielle
18.69. Y'(t) = AY(t), avec Y(t) vecteur colonne de Rn et A matrice
carrée d'ordre n.
18. 70. Premier cas : A est diagonalisable
Si Ài, ... , Àn sont les valeurs propres de a, (ou de A), distinctes ou non,
et si { ei, ... , en} est une base de vecteurs propres associés, les fonctions
Yi : t ~ e>-1tej sont solutions de 18.66, (corollaire 18.68), indépendantes
car si t = 0 on a: Yj{O) = ej donc les valeurs prises par ces solutions pour
t = 0 sont indépendantes, (Corollaire 18.37). Comme l'espace vectoriel des
solutions est de dimension n, les Yi en forment une base.
(
REMARQUE 18. 71. - Si Cj =
: . est la matrice colonne des com posantes de ej dans la base de départ, le déterminant de la matrice wronskienne est visiblement