Equations différentielles
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THÉORÈME 18.67. - Soit E un Banach et a dans Cc(E, E), la solution
de l'équation 18.66: y'(t) = a(y(t)) valant Yo pour t = to est définie par
y(t) = ( e(t-to)a) (Yo).
Il s'agit d'une vérification.
D'abord, dans Cc(E, E), complet, (Tome 2, Théorème 6.25), la série
((t - to)a)n
des
1
est absolument convergente donc convergente. De plus
n.
e 0 ·a = idE donc y(t) existe et y(to) = YO·
Puis t ~ eta est dérivable, de dérivée a o eta = eta o a.
En effet, pour h réel non nul,
~ ( e(t+h)a _ éa) = ~ ( eta 0 eha _ éa)
car ta et ha commutent, et la convergence absolue des séries définissant
eta et eha permet alors de justifier l'égalité eta o eha = eta+ha.
Donc
1
( ha "d )
( oo hn-1 n)
h ( e(t+h)a - eta) = eta o e ~ l E = eta o ~ n! a .
Pour lhl ~ 1 lllhn-lanlll ~ lllallln ·la convergence uniforme en h
~
'
1
~
1
•
n.
n.
de cette série de fonctions de h, continues sur [-1, l], permet de conclure
oo hn-lan
à la continuité en 0 donc lim L 1 =a d'où (eta)' = eta o a, par
h-+O n=l n.
continuité aussi de l'application bilinéaire (u, v) ~ u o v de (Cc(E, E)) 2
dans Cc(E, E).
Comme e(t-to)a = eta o e-toa, on en déduit que t ~ e(t-to)a est
dérivable de dérivée
puisque a et les polynômes en a commutent, donc a et e-toa commutent
aussi.
Enfin, l'application bilinéaire continue (u, x) ~ u(x) de Cc(E, E) x E
dans E étant différentiable, (exemple 16.21), on conclut à la dérivabilité
de t ~ ( e(t-to)a) YO = y(t) avec
y' (t) = (a o e(t-to)a) (Yo) = a ( e(t-to)a(Yo)) = a(y(t)).