Equations différentielles
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n
On a donc y= L UjYi• les Uj se calculant en prenant des primitives
j=l
des uj déterminés par l'égalité matricielle
18.65.
( ~ l = (W(t))1 ( ~ l
u~
b(t)
Deux cas particuliers importants
Equation scalaire d'ordre 1: y'(t) + a(t)y(t) = b(t).
- f a(s}ds
Ayant y(t) = Àe to
= Àyi, intégrale générale de l'équation
homogène, la matrice «wronskienne» est w(t) = (y1) et la méthode de
variation des constantes conduit à prendre À(t) vérifiant:
À 1 Y1 + ÀYl + a(t).Xy1 = b(t),
soit comme
Yl + ay1 = 0, À 1 Y1 = b(t)
ou
.X'(t) = b(t) = (W(t))- 1 b(t):
Yl (t)
c'est la théorie générale qui s'applique, et qui redonne le résultat vu en
18.42.
Equation scalaire d'ordre 2: y"+ a(t)y' + b(t)y = c(t).
On suppose trouvées, (par quel miracle?) Yl et Y2 solutions indépendantes de y"+ a(t)y + b(t)y =O.
Vous avez peut être déjà rencontré la technique qui consiste à dire :
«On cherche y sous la forme y= u1y1 + u2y2.
Alors y' = u1y1 + u2y2 + u1y1 + u2y2 et on impose (De quel droit
pensiez-vous alors, car le droit de parler et de questionner, l'aviez-vous
vraiment? Alors que le droit de ne pas comprendre ça on l'a toujours.), on
impose donc u1y1 + u2y2 =O. Pourquoi pas! D'ailleurs pourquoi u1 et u2
sont-elles dérivables?
Alors y"= u1y1 + u2y2 + u1yr + u2yq et on doit avoir
u1y1 + u2y2 + u1(Yr + ay1 + byi) + u2(yq + ay2 + by2) = c
soit u1y1 + u2y2 = c, puisque Yl et Y2 sont solutions de l'équation
homogène.