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Analyse fonctionnelle
seulement si leur Wronskien
det (W(t)) =
Y1(t)
YHt)
Y2(t)
y~(t)
Yn(t)
y~(t)
-# 0, pour un t de 1.
(Ou, ce qui revient au même, si la matrice wronskienne W{t) est
inversible).
C'est la transcription du résultat sur les systèmes linéaires. On constate là encore que le Wronskien W(t) = det W(t) ne peut pas s'annuler
sans être identiquement nul car on a
W(t) = W(to)e - J:: ai(s)ds'
la trace de la nature A(s) du système 18.59, ici étant -a1(s).
REMARQUE 18.63. - Le Wronskien est constant si et seulement si y{n-l}
ne figure pas dans l'équation.
Et si on faisait le point sur ce que l'on sait faire exactement? Eh bien,
on déchante! En effet :
1) on sait vérifier si des solutions Yl, ... , Yn sont indépendantes (pour
l'équation homogène 18.56);
2) dans ce cas, on sait résoudre 18.55 par la méthode dite de variation
des constantes.
En effet, à partir de Yl, ... , Yn solutions indépendantes de 18.56,
on dispose des solutions indépendantes lj, j = 1, ... , n du système
homogène 18.59 associé.
On sait alors que y solution de 18.55 est la première composante de
Y solution du système 18.58, laquelle solution Y se cherche sous la forme
n
L Uj(t)Yj(t), les Uj vérifiant
:~~
W(t) [~ ) = B(t) = ( ; )
u~
b(t)
(voir recette 18.48, où les Uj sont notés Zj).