Equations différentielles
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THÉORÈME 18.60. - Les solutions de l'équation différenti.elle linéaire
scalaire d'ordre n, 18.55: y(n) +a1 (t)y(n-I) + ... +an(t)y = b(t) forment
un espace affine de dimension n, de direction l'espace vectoml des solutions
de l'équation homogène associée. (On suppose les ai et b fonctions continues
de I dans R.)
En effet, si y et z sont solutions de 18.55, y - z est solution de 18.56 :
y(n) + ai(t)y(n-l) + ... + an(t)y = 0, (on soustrait), et on va montrer
que les solutions de 18.56 forment un espace vectoriel.
Soit F l'espace vectoriel des solutions du système 18.59. On sait,
(Théorème 18.36), que cet espace vectoriel F est dimension n car il est
isomorphe à Rn.
Soit { 18.61.
et si la famille { n
n
que LÀi'Pi(t) = 0, on aurait en dérivant i fois, LÀi'PJi)(t) = 0, ce
i=l
i=l
qui traduit le fait que résulte que { solutions de 18.56 forment un espace vectoriel&', (vérification immédiate
car 0 est solution et il y a stabilité par combinaisons linéaires) donc &' est
de dimension n au moins.
Mais réciproquement, si { de 18.56, les fonctions 18.59, indépendantes car une relation de dépendance linéaire donnerait
une relation de dépendance linéaire entre les premières composantes, soit
entre les 'Pi·
D'où p ~ n : le rang maximum des familles libres de &' est n; on a
dim &' ~ n, donc finalement dim &' = n.
COROLLAIRE 18.62. -Des solutions y1, y2, ... , Yn de l'équation homogène
18.56: y(n) + ai(t)y(n-l) + ... + an(t)y = 0 sont indépendantes si et