416
Analyse fonctionnelle
18.56. y(n)(t) + ai(t)y(n-l}(t) + ... + an(t)y(t) =O.
En reprenant alors la technique du paragraphe 1, (voir 18.5), pour se
ramener à une équation du premier ordre, on pose Yl =y, puis on définit
Y2, ... , Yn par les égalités
I
I
I
Y1 = Y2,Y2 = y3, · · · •Yn-1 = Yn
d'où
_
I
_
Il
_
(n-1}
Y2-y,y3-y , ... ,yn-Y
en fait et y est solution de 18.55, (ou de 18.56) si et seulement si, en plus
des relations définissant les Yj· on a:
Y~ = -a1Yn - a2Yn-1 - · · · - llnYl + b
(ou la relation sans b).
On est donc amené à considérer le système
18.57. Yl = Y2
Y2 = Y3
I
-
Yn-1 -Yn
Y~ = -anYl - an-1Y2 - · · · - aiYn + b
ou encore, en considérant la matrice colonne Y(t) des Yi(t), l'équation
différentielle du premier ordre mise sous forme matricielle
·
18.58. Y'(t) = A(t)Y(t) + B(t), ou
0
0
0
1
0
o ...... 0
1 ...... o
0
o ...... 1
-an-1 -an-2 ...... - ai
Yl
Y2
Yn
+
0
0
0
b(t)
et y(t) est solution de 18.55 si et seulement si c'est la première composante
de Y ( t) solution de 18.58. On a la même équivalence pour y solution de
18.56 avec Y solution du système homogène
18.59. Y'= A(t)Y, associé.