Equations différentielles
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Le système (J) s'écrit:
{
(t 2 + l)u' =-tu+ tu+ v
(t 2 + l)(u +tu'+ v') = u + t 2 u + tv
{
( t 2 + 1 )u' = V
{:::} t(t 2 + l)u' + (t 2 + l)v' = tv, soit comme t(t 2 + l)u' = tv
{:::} { (t 2 + l)u' =V
(t 2 + l)v' = 0
a
d'où l'intégration immédiate v = a est constant, puis u' = t 2 + 1 {:::}
u(t) = aArctgt + {3, ({3 constante), d'où le couple
Y(t) = (aArctgt + {3, a(l + tArctgt) + {3t).
5. Equations différentielles scalaires d'ordre n
Il s'agit d'équations différentielles du type
18.54. ao(t)y(n) +a1(t)y(n-l} + ... +an(t)y = {3(t), où ao, ai, ... , an.
{3 sont des fonctions définies sur un intervalle ouvert Ide IR, continues de
I dans R, et où on cherche y, n fois dérivable sur un sous-intervalle ouvert
J de I, vérifiant l'équation. On peut, au choix du client, exiger que y(n)
soit continue ou non, ce choix ne devenant effectif qu'aux zéros de ao.
On va se ramener au paragraphe précédent sur tout sous-intervalle
de I sur lequel ao ne s'annule pas, un problème de traversée des zéros
éventuels de ao se posant.
On suppose donc ao ne s'annulant pas sur I, on divise par ao, et en
a ·(t)
{3(t)
définissant les aj(t) = _1__( ) et b(t) =-(-),l'équation se met alors sous
aot
aot
la forme équivalente
18.55. y(n)(t) + ai(t)y(n-l}(t) + ... + an(t)y(t) = b(t)
et on considérera aussi l'équation dite sans second membre, ou homogène,
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