414 Analyse fonctionnelle
et on aura Y solution de 18.45 sur l'intervalle J si et seulement si les Uj
vérifient les relations :
n
18.51. pour j = p + 1,p + 2, ... n: uj = L À3kuk; puis,
k=p+l
n
18.52. pour j = 1, ... ,p:
uj = L À3kuk.
k=p+l
n
Mais les relations 18.51 : uj = L ÀjkUk pour p + 1 ~ j ~ n,
k=p+l
donnent un système linéaire homogène sur Rn-p, et c'est en cela que l'on
a abaissé l'ordre. Si on sait le résoudre, (et c'est le cas si p = n - 1), on
détermine ces Uj pour j ;;;i: p + 1, d'où, par calcul de primitives, les Uj
pour j ~p.
EXEMPLE 18.53. - Résoudre le système différentiel :
{
(t 2 + l)x' = tx +y
(I)
(t 2 + l)y 1 =X+ ty.
On constate que le couple (1, t) est solution.
Dans R 2 , on cherche un vecteur tel que la matrice
avec a et f3 constantes, soit régulière pour tout t, a = 0, /3 = 1 convient.
Posons donc Z ( t) = ( ! ) et e = ( ~). On cherche Y sous la forme
( u(t)
)
Y= u(t)Z(t) + v(t)e = tu(t) + v(t) .