Equations différentielles
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dans Rn tels que B(to) = {'Pl (to), ... , cpp(to), ep+i. ... , en} soit une base
de Rn, et elle le reste localement en to, (car on a un déterminant non nul
en to, fonction continue de t).
Donc il existe un intervalle J contenant to tel que pour tout t de J,
B(t) soit une base de Rn : c'est sur cet intervalle qu'on poursuit le travail.
Sur I - J, on change de vecteurs ep+l • ... , en.
On cherche Y ( t) sous la forme
p
n
Y(t) = L Uj(t)cpj(t) + L Uj(t)ej,
j=l
j=p+l
les Uj étant dérivables si et seulement si Y est dérivable, la matrice
changement de base de la base canonique à la base B(t) ayant ses
coefficients dérivables car ce sont les composantes des 'Pj(t), dérivables,
ou des constantes.
P
P
n
On a donc
Y'= L ujcpj + L Uj'PJ + L ujej,
j=l
j=l
j=p+l
et Y solution de 18.45 équivaut à :
p
n
Y'= UY = L ujU'Pj + L ujUej,
j=l
j=p+l
soit comme cpj = U 'Pj, on obtient Y solution si et seulement si
p
n
n
18.50. L ujcpj + L ujej = L Uj(Uej)·
j=l
j=p+l
j=p+l
Cette relation est exploitable si on calcule la décomposition ds U ej
dans la base B(t).
P
n
Posons
U ek = L Àjk'Pj + L Àjkej,
il vient dans 18.50
j=l
j=p+l
t ujcpj + t ujej = t uk (t Àjk'Pj + t Àjkej)
j=l
j=p+l
k=p+l
j=l
j=p+l
= t ( t ÀjkUk) 'Pj + t ( t ÀjkUk) ej
j=l k=p+l
j=p+l k=p+l