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Analyse fonctionnelle
n
n
On a: Y'(t) = ~:::>.fc,oj + :~:::zjc,oj vérifie 18.44 si et seulement si,
j=l
j=l
(linéarité de U(t))
n
n
n
:~::>J'Pj + :~::>j'PJ = :E Zj(UC,Oj) + B(t).
j=l
j=l
j=l
Comme c,oj = Uc,oj. ceci équivaut à la relation
n
:E zj(t)c,oj(t) = B(t),
j=l
autrement dit, à dire que les zj sont les coordonnées de B(t) dans la base
des C,Oj(t), donc que l'on a, matriciellement
B(t) = W(t)Z'(t) ou encore Z'(t) = (W(t))- 1 B(t).
RECETTE 18.48. - Pour résoudre le système avec second membre, connaissant ce qu'on appelle parfois l'intégrale générale de l'équation sans second membre le travail est donc simple : on détermine la matrice colonne
Z'(t) = (W(t))- 1 B(t), on prend une primitive de chaque zj(t), d'où la
n
solution cherchée sous la forme L Zj(t)c,oj(t), les constantes dans les
j=l
primitives donnant bien une fonction dans un espace affine de dimen~ ~
.
Voilà ce que l'on sait faire avec certitude. Quand à obtenir l'intégrale
générale de l'équation sans second membre, alors là ... rien de général .
. RECETTE 18.49. - On peut cependant, si on connaît p solutions indépendantes, (p < n) se ramener à un système sur Rn-p. C'est la technique de
l'abaissement de l'ordre. En particulier, si p = n - 1, on sera ramené à
une équation scalaire que l'on sait résoudre. Voyons ce dont il s'agit.
On dispose de c, o1, ... , C,Op, solutions indépendantes du système homogène 18.45 : Y'(t) = U(t)Y(t).
On sait alors, (corollaire 18.37), que pour chaque to de I les vecteurs
c, o1 ( to), ... , C,Op ( to) sont indépendants dans Rn, donc il existe ep+ 1, ... , en