Equations différentielles
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Di(t) = Uïi(t)W(t), et finalement le déterminant W(t) vérifie l'équation
différentielle
18.46. W 1 (t) = (~ uii(t)) W(t) =(trace U(t)) W(t).
Il résulte de l'étude faite au début de ce paragraphe de l'équation
scalaire d'ordre 1, que l'on a, pour to E J,
(Théorème 18.40), et on retrouve le fait que ce déterminant ne peut pas
s'annuler sans être identiquement nul.
DÉFINITION 18.47. - On appelle Wronskien d'une famille (cp1, ... , 'Pn) de
n solutions du système homogène 18.45 Y'= U(t)(Y), le déterminant de
la matrice des composantes de ces solutions dans la base canonique de Rn.
La matrice W(t) de ces composantes est la matrice wronskienne, et on
remarque que c'est la matrice de l'isomorphisme w(t) de F, (espace des
solutions de 18.45 dans Rn, par rapport à la base ('Pl, ... , 'Pn) de F et la
base canonique de !Rn, (voir Théorème 18.36).
Retour au système avec second membre : c'est-à-dire au système noté
18.44: Y'(t) = U(t)Y(t) + B(t) dont on connaît l'espace des solutions du
système homogène, noté 18.45: Y'(t) = U(t)Y(t) associé, espace vectoriel
de base { cp1, cp2, ... , 'Pn}·
Pour chaque t de I intervalle ouvert où sont définies U et B, les
vecteurs 'Pl ( t)' ... ' 'Pn ( t) forment une base de nn' donc on peut chercher
n
Y(t) solution sous la forme Y(t) = L Zj(t)cpj(t).
j=l
Si on note Z(t) le vecteur colonne des Zj(t), on constate que, les
Zj(t) étant les composantes de Y(t) dans la base des 'Pj(t), et la matrice
wronskienne W(t) étant la matrice de passage de la base canomque de
!Rn à celle des 'Pj(t), Z(t) et Y(t) vérifient:
Y(t) = W(t)Z(t) d'où Z(t) = (W(t))- 1 Y(t),
et les coefficients de W(t) étant dérivables, ceux de (W(t))- 1 le sont
aussi, (fractions rationnelles par rapport aux Wij(t), à dénominateurs non
nuls) donc Y dérivable équivaut à Z dérivable.