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Analyse fonctionnelle
18.45. Y'(t) = U(t)Y(t).
On ne sait pas résoudre 18.45 d'une manière générale. Nous verrons
par la suite comment grignoter ce bloc. Mais on sait résoudre le système
avec second membre quand on connaît n solutions indépendantes du
système homogène 18.45 associé.
·
On a vu, (Corollaire 18.37), que n solution sont indépendantes si et seulement si les valeurs prises en un to de
I, (intervalle où U et B sont définies), sont des vecteurs indépendants
dans !Rn.
On va retrouver ce résultat. En effet on considère ici 'Pj(t) comme la
matrice colonne des 'Pi,j ( t), i = 1, ... , n, et soit W ( t) le déterminant de
la matrice des composantes de ((cpi, ... , 'Pn) fami~le libre de solutions de 18.45) *> (3to, W(to) # 0).
Nous allons le rejustifier.
On peut dériver W(t). On obtient, (dérivée d'un déterminant), W'(t)
comme la somme des n déterminants obtenus en remplaçant successivement la ième ligne par la ième ligne des dérivées donc 'Pij ( t) sera remplacé
par
n
'P~;(t) = L Uïk(t)cpk,j(t),
k=l
(on prend la ième ligne de l'égalité matricielle cpj = U(t)cp;(t)).
n
On a donc W'(t) = L Di(t), avec Di(t) déterminant valant
i=l
'Pll (t)
'P1;(t)
'Pl,n(t)
'Pi-1,1
'Pi-1,2
'Pi-1,j
'Pi-1,n
L Uïk'Pkl L Uïk'Pk2 · · · L Uïk'Pkj · · · L Uïk'Pkn '
-~- .......... f' : ................ f' : ................ f' : ..... .
'Pn,1
'Pn,2
'Pn,j
'Pn,n
et on constate que D(t) est obtenu à partir du déterminant W(t) en
n
remplaçant sa ième ligne Li, par la combinaison L UïkLk, donc
k=l