Equations différentielles
409
On a : y' = >.' z + >.z', donc y est solution de 18.42 si et seulement si
a(>.' z + Àz 1 ) + b>.z = c = >.(az' + bz) +a>.' z,
soit, comme az' + bz = 0, (z solution de l'équation sans second membre),
on aura Àz solution de 18.42 si et seulement si a(t)>.'(t)z(t) = c(t).
Or, sur I, a(t) ne s'annule pas, mais z(t) non plus, (c'est une exponentielle) donc c'est équivalent à avoir >.'(t) = a(~~~(t).
Si t -v+ Ào ( t) définit une primitive Ào de la fonction continue ~, on a
az
donc À = >.o + cte et finalement, avec k E IR, y(t) = >.o(t)z(t) + kz(t) :
c'est bien la forme d'une fonction variant dans un espace affine, et pour
to E J, 3!k tel que y(to) = yo, pour un Yo donné, puisque z(to) =F O.
Donc, les équations linéaires scalaires du 1er ordre avec ou sans second
membre : on sait résoudre.
Voyons maintenant ce que l'on peut dire du cas E = Rn, n > 1.
Si on considère l'équation différentielle linéaire
18.43. y'(t) = u(t)(y(t)) + b(t)
avc u(t) linéaire continue de Rn dans !Rn, (donc linéaire suffit), et b(t) dans
E, on va avoir une écriture matricielle de cette équation et on parlera de
système linéaire.
On introduit les matrices colonnes B(t) et Y(t), d'ordre n, de composantes bi(t) et Yi(t), ainsi que la matrice U(t), carrée d'ordre n, de
terme général Uij(t), associée à u(t) dans la base canoniq_ue de !Rn, la
relation 18.43 équivaut à l'égalité matricielle
18.44. Y'(t) = U(t)Y(t) + B(t)
qui condense les n équations du type :
lorsque i varie de 1 à n, équations formant le système différentiel d'ordre 1
proprement dit.
Que sait-on exactement, et que sait-on faire? Pas grand chose. D'un
point de vue théorique, les solutions du système 18.44 forment un espace
affine :F dont la direction est formée de l'espace vectoriel F, de dimension
n, des solutions du système homogène associé :
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On a : y' = >.' z + >.z', donc y est solution de 18.42 si et seulement si
a(>.' z + Àz 1 ) + b>.z = c = >.(az' + bz) +a>.' z,
soit, comme az' + bz = 0, (z solution de l'équation sans second membre),
on aura Àz solution de 18.42 si et seulement si a(t)>.'(t)z(t) = c(t).
Or, sur I, a(t) ne s'annule pas, mais z(t) non plus, (c'est une exponentielle) donc c'est équivalent à avoir >.'(t) = a(~~~(t).
Si t -v+ Ào ( t) définit une primitive Ào de la fonction continue ~, on a
az
donc À = >.o + cte et finalement, avec k E IR, y(t) = >.o(t)z(t) + kz(t) :
c'est bien la forme d'une fonction variant dans un espace affine, et pour
to E J, 3!k tel que y(to) = yo, pour un Yo donné, puisque z(to) =F O.
Donc, les équations linéaires scalaires du 1er ordre avec ou sans second
membre : on sait résoudre.
Voyons maintenant ce que l'on peut dire du cas E = Rn, n > 1.
Si on considère l'équation différentielle linéaire
18.43. y'(t) = u(t)(y(t)) + b(t)
avc u(t) linéaire continue de Rn dans !Rn, (donc linéaire suffit), et b(t) dans
E, on va avoir une écriture matricielle de cette équation et on parlera de
système linéaire.
On introduit les matrices colonnes B(t) et Y(t), d'ordre n, de composantes bi(t) et Yi(t), ainsi que la matrice U(t), carrée d'ordre n, de
terme général Uij(t), associée à u(t) dans la base canoniq_ue de !Rn, la
relation 18.43 équivaut à l'égalité matricielle
18.44. Y'(t) = U(t)Y(t) + B(t)
qui condense les n équations du type :
lorsque i varie de 1 à n, équations formant le système différentiel d'ordre 1
proprement dit.
Que sait-on exactement, et que sait-on faire? Pas grand chose. D'un
point de vue théorique, les solutions du système 18.44 forment un espace
affine :F dont la direction est formée de l'espace vectoriel F, de dimension
n, des solutions du système homogène associé :