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Analyse fonctionnelle
En effet, sur l où a ne s'annule pas, on peut mettre l'équation sous la
forme équivalente y' ( t) = - !~!~y( t) et appliquer le Théorème 18.36, on
a donc un espace de solution de dimension un, et la fonction donnée dans
le théorème vaut bien Yo si t = to, elle est dérivable sur l, avec
y' = YO - - e - Jto a(s) s = --y(t) :
(
b(t))
rt ~d
b(t)
a(t)
a(t)
on a bien la solution cherchée.
•
REMARQUE 18.41. - Pour l'équation a(t)y' + b(t)y = 0, avec a de valeurs
réelles, continue sur un ouvert n de R, sur chaque composante connexe
l de 0 1 = { t; t E 0, a(t) # O}, (O' ouvert de IR, est réunion de ses
composantes connexes, qui sont des intervalles ouverts de R, notés l), on
a un espace vectoriel de dimension 1. Si li et 12 sont deux composantes
connexes ayant une borne comme c, il se peut qu'il y ait des solutions
y définies en c, dérivables en c, (de dérivée continue ou non en c), avec
a(c)y'(c) + b(c)y(c) = o; comme il se peut qu'il n'y en ait pas. Il se peut
qu'une solution sur li se raccorde avec une seule (ou toutes les) solution(s)
sur h, ou avec aucune ... cela dépend des exemples. Sur li U 12 on a donc
un espace de solutions de dimension 2, (attention, c ~li U h, il y a un
trou) mais sur li U h U { c} on peut avoir un espace vectoriel de solutions
de dimension 1, 2 ou seulement la solution nulle. De plus on peut choisir
ou non d'imposer la continuité de y' en c.
Cas de l'équation scalaire avec second membre, du type
18.42. a(t)y' + b(t)y = c(t), avec a, b, c fonctions continues de n C IR,
danslR.
Là encore on se place sur un intervalle ouvert l où a ne s'annule pas.
Les solutions de l'équation sans second membre sont connues, ce sont
les fonctions du type
rt ~d
y(t) = Àe - Jto CiîSî
8 ,
avec to fixé dans let À quelconque dans R. Notons y(t) = Àz(t) cette
solution générale, z(t) étant une solution particulière. On emploie la
méthode dite de variation des constantes pour résoudre 18.42. Comme la
fonction z ne s'annule pas, une fonction y est dérivable si et seulement si
À = ~ l'est. On cherche alors y = Àz solution de 18.42, avec À dérivable.
z
Analyse fonctionnelle
En effet, sur l où a ne s'annule pas, on peut mettre l'équation sous la
forme équivalente y' ( t) = - !~!~y( t) et appliquer le Théorème 18.36, on
a donc un espace de solution de dimension un, et la fonction donnée dans
le théorème vaut bien Yo si t = to, elle est dérivable sur l, avec
y' = YO - - e - Jto a(s) s = --y(t) :
(
b(t))
rt ~d
b(t)
a(t)
a(t)
on a bien la solution cherchée.
•
REMARQUE 18.41. - Pour l'équation a(t)y' + b(t)y = 0, avec a de valeurs
réelles, continue sur un ouvert n de R, sur chaque composante connexe
l de 0 1 = { t; t E 0, a(t) # O}, (O' ouvert de IR, est réunion de ses
composantes connexes, qui sont des intervalles ouverts de R, notés l), on
a un espace vectoriel de dimension 1. Si li et 12 sont deux composantes
connexes ayant une borne comme c, il se peut qu'il y ait des solutions
y définies en c, dérivables en c, (de dérivée continue ou non en c), avec
a(c)y'(c) + b(c)y(c) = o; comme il se peut qu'il n'y en ait pas. Il se peut
qu'une solution sur li se raccorde avec une seule (ou toutes les) solution(s)
sur h, ou avec aucune ... cela dépend des exemples. Sur li U 12 on a donc
un espace de solutions de dimension 2, (attention, c ~li U h, il y a un
trou) mais sur li U h U { c} on peut avoir un espace vectoriel de solutions
de dimension 1, 2 ou seulement la solution nulle. De plus on peut choisir
ou non d'imposer la continuité de y' en c.
Cas de l'équation scalaire avec second membre, du type
18.42. a(t)y' + b(t)y = c(t), avec a, b, c fonctions continues de n C IR,
danslR.
Là encore on se place sur un intervalle ouvert l où a ne s'annule pas.
Les solutions de l'équation sans second membre sont connues, ce sont
les fonctions du type
rt ~d
y(t) = Àe - Jto CiîSî
8 ,
avec to fixé dans let À quelconque dans R. Notons y(t) = Àz(t) cette
solution générale, z(t) étant une solution particulière. On emploie la
méthode dite de variation des constantes pour résoudre 18.42. Comme la
fonction z ne s'annule pas, une fonction y est dérivable si et seulement si
À = ~ l'est. On cherche alors y = Àz solution de 18.42, avec À dérivable.
z