Equations différentielles
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COROLLAIRE 18.37. -Des solutions, 'PI, 'P2, ... , 'Pn de l'équation homogène
y 1 (t) = u(t)(y(t)) sont linéairement indépendantes dans c 0 (I,E) si et
seulement si il existe to E I tel que les vecteurs 'PI ( to), 'P2 ( to), ... , 'Pn ( to)
soient indépendants dans E.
C'est évident, puisque l'on passe du système {'Pl, ... , 'Pn} de vecteurs
de F au système {'Pl ( to), ... , 'Pn ( to)} de vecteurs de E par l'isomorphisme w(to).
Il est donc aussi équivalent de dire que pour chaque t de I les vecteurs
cp1(t), cp2(t), ... , 'Pn(t) sont indépendants dans E.
Ce corollaire va nous servir au paragraphe suivant pour étudier les
solutions de l'équation avec second membre et faire le bilan de ce que l'on
connaît vraiment, (bien peu de chose, assurément).
18.38. Mais avant, un mot de w(ti)w(to)- 1 = r(ti, to). C'est quoi? Et
bien un isomorphisme de E, puisque w(t) est isomorphisme de F sur E,
pour chaque t de J. Cet isomorphisme c'est le procédé qui au vecteur x de
E associe la valeur pour t = ti de la solution de l'équation différentielle
homogène valant x lorsque t = to.
18.39. On peut constater que r(ti, to) o r(to, ti) = idE, et que r(t1, t2) o
r(t2, t3) = r(ti, t3)· L'opérateur r(t, s) s'appelle le résolvant de l'équation
différentielle linéaire homogène et w(t) le wronskien. Mais c'est surtout
en dimension finie que ces notions sont exploitées.
4. Cas des équations différentielles linéaires en dimension
finie
Voyons d'abord un cas particulier important : l'équation différentielle
scalaire linéaire d'ordre 1. C'est le cas de E = IR, (d'où le terme scalaire,
les fonctions étant à valeurs dans IR donc étant des scalaires dans la
terminologie usuelle).
THÉORÈME 18.40. - Soit a et b deux fonctions définies continues d'une
partie de R, dans IR. Sur tout intervalle I où la fonction a ne s'annule
pas, l'équation différentielle homogène a(t)y' + b(t)y = 0 admet un espace
vectoriel de solutions de dimension 1. La solution prenant la valeur YO
l
t
-
~ds
a(S)
pour t = to dans I est donnée par y(t) = yoe to
.
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COROLLAIRE 18.37. -Des solutions, 'PI, 'P2, ... , 'Pn de l'équation homogène
y 1 (t) = u(t)(y(t)) sont linéairement indépendantes dans c 0 (I,E) si et
seulement si il existe to E I tel que les vecteurs 'PI ( to), 'P2 ( to), ... , 'Pn ( to)
soient indépendants dans E.
C'est évident, puisque l'on passe du système {'Pl, ... , 'Pn} de vecteurs
de F au système {'Pl ( to), ... , 'Pn ( to)} de vecteurs de E par l'isomorphisme w(to).
Il est donc aussi équivalent de dire que pour chaque t de I les vecteurs
cp1(t), cp2(t), ... , 'Pn(t) sont indépendants dans E.
Ce corollaire va nous servir au paragraphe suivant pour étudier les
solutions de l'équation avec second membre et faire le bilan de ce que l'on
connaît vraiment, (bien peu de chose, assurément).
18.38. Mais avant, un mot de w(ti)w(to)- 1 = r(ti, to). C'est quoi? Et
bien un isomorphisme de E, puisque w(t) est isomorphisme de F sur E,
pour chaque t de J. Cet isomorphisme c'est le procédé qui au vecteur x de
E associe la valeur pour t = ti de la solution de l'équation différentielle
homogène valant x lorsque t = to.
18.39. On peut constater que r(ti, to) o r(to, ti) = idE, et que r(t1, t2) o
r(t2, t3) = r(ti, t3)· L'opérateur r(t, s) s'appelle le résolvant de l'équation
différentielle linéaire homogène et w(t) le wronskien. Mais c'est surtout
en dimension finie que ces notions sont exploitées.
4. Cas des équations différentielles linéaires en dimension
finie
Voyons d'abord un cas particulier important : l'équation différentielle
scalaire linéaire d'ordre 1. C'est le cas de E = IR, (d'où le terme scalaire,
les fonctions étant à valeurs dans IR donc étant des scalaires dans la
terminologie usuelle).
THÉORÈME 18.40. - Soit a et b deux fonctions définies continues d'une
partie de R, dans IR. Sur tout intervalle I où la fonction a ne s'annule
pas, l'équation différentielle homogène a(t)y' + b(t)y = 0 admet un espace
vectoriel de solutions de dimension 1. La solution prenant la valeur YO
l
t
-
~ds
a(S)
pour t = to dans I est donnée par y(t) = yoe to
.