406 Analyse fonctionnelle
18.35. y'(t) = u(t)(y(t)) est dite homogène ou sans second membre,
associée.
Pendant que j'y suis, la première ne dépend pas linéairement mais de
manière affine, de y, c'est la deuxième qui est linéaire. Enfin, que vous
voulez-vous, sans ces abus, la vie serait" monotone !
On a alors:
THÉORÈME 18.36. - Soit E un Banach, I un intervalle de R, u et b
deux applications continues de I dans Cc(E, E) et E respectivement. Les
solutions de l'équation 18.34: y 1 (t) = u(t)(y(t)) + b(t) forment un espace
affine, de direction l'espace vectoriel F des solutions de l'équation 18.35
homogène associée: y 1 (t) = u(t)(y(t)). Cet espace vectoriel Fest isomorphe
àE.
Soit :F ={solutions de 18.34} et F =·{solutions de 18.35}.
Il est clair que, si Yl et Y2 vérifient 18.34, par linéarité de u(t) on aura
(y1 -y2)'(t) = u(t)(y1(t)) + b(t) - (u(t)(y2(t)) + b(t))
= u(t)(y1(t) -y2(t)), donc Yl -y2 E F.
On vérifie facilement que F est un espace vectoriel, (sous-espace de
c 0 ( I, E) en fait) car la fonction nulle est dans F qui est stable par
combinaisons linéaires. On a déjà :F espace a.."fi.ne de direction F.
Pour to E I, fixé, on sait que pour chaque YO de E il existe une et une
seule solution y de 18.35: y 1 (t) = u(t)(y(t)) valant YO si t = to.
Notons alors w(to) l'application de F dans E qui à une solution cp de
18.35 associe sa valeur cp(to). Nous venons de voir que, Vyo E E, 3!y E F,
avec w(to)(y) = Yo : l'application w(to) est donc une bijection de F sur
E. Elle est linéaire, car si 'Pl, cp2 sont dans F et À 1, >.2 dans R, on a
valeur en to de la solution >.1 'Pl + À2
On a bien isomorphisme, w(to), entre l'espace F des solutions de
l'équation sans second membre, et l'espace vectoriel E.
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18.35. y'(t) = u(t)(y(t)) est dite homogène ou sans second membre,
associée.
Pendant que j'y suis, la première ne dépend pas linéairement mais de
manière affine, de y, c'est la deuxième qui est linéaire. Enfin, que vous
voulez-vous, sans ces abus, la vie serait" monotone !
On a alors:
THÉORÈME 18.36. - Soit E un Banach, I un intervalle de R, u et b
deux applications continues de I dans Cc(E, E) et E respectivement. Les
solutions de l'équation 18.34: y 1 (t) = u(t)(y(t)) + b(t) forment un espace
affine, de direction l'espace vectoriel F des solutions de l'équation 18.35
homogène associée: y 1 (t) = u(t)(y(t)). Cet espace vectoriel Fest isomorphe
àE.
Soit :F ={solutions de 18.34} et F =·{solutions de 18.35}.
Il est clair que, si Yl et Y2 vérifient 18.34, par linéarité de u(t) on aura
(y1 -y2)'(t) = u(t)(y1(t)) + b(t) - (u(t)(y2(t)) + b(t))
= u(t)(y1(t) -y2(t)), donc Yl -y2 E F.
On vérifie facilement que F est un espace vectoriel, (sous-espace de
c 0 ( I, E) en fait) car la fonction nulle est dans F qui est stable par
combinaisons linéaires. On a déjà :F espace a.."fi.ne de direction F.
Pour to E I, fixé, on sait que pour chaque YO de E il existe une et une
seule solution y de 18.35: y 1 (t) = u(t)(y(t)) valant YO si t = to.
Notons alors w(to) l'application de F dans E qui à une solution cp de
18.35 associe sa valeur cp(to). Nous venons de voir que, Vyo E E, 3!y E F,
avec w(to)(y) = Yo : l'application w(to) est donc une bijection de F sur
E. Elle est linéaire, car si 'Pl, cp2 sont dans F et À 1, >.2 dans R, on a
valeur en to de la solution >.1 'Pl + À2
On a bien isomorphisme, w(to), entre l'espace F des solutions de
l'équation sans second membre, et l'espace vectoriel E.
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