Equations différentielles 405
REMARQUE 18.30. - On peut majorer les valeurs prises par la solution de
donée initiale (to, Yo), sur chaque segment [a, b] de I.
En effet, toujours avec a= sup {lllu(t)lll, t E [a, b]} et
OO
.B = sup {llb(t)ll, t E [a, b]}, on a L:(Yp+l (t) - Yp(t)) = y(t) - Yo,
p=O
donc avec la majoration 18.27 on a :
oo
lt - toJP+l
lly(t) -yoll ~ L: aP(allyoll + .B) (p + l)! , soit, pour a =F 0,
p=O
~(ait- tol)P+l .B ~(ait - tol)P+l
~ llYoll ;:a (p + 1)! +~;:a (p + 1)!
~ (11Yoll + ~) (ealt-tol _ 1),
et a fortiori, avec lt - to 1 ~ b - a, l'inégalité
18.31. lly(t)ll ~ llYollea(b-a) + f!.(ea(b-a) - 1).
a
Un peu de vocabulaire
Le point de départ de l'étude des équations différentielles a été la
considération d'équations avec y fonction dérivable de variable réelle
· à valeurs réelles. Dans le cas des équations linéaires, il s'agit donc
d'équations du type
18.32. a(t)y'(t) + b(t)y(t) = c(t), avec a, b, c fonctions définies sur un
intervalle I de R, à valeurs réelles.
Une telle équation est dite avec second membre, (c(t)), et l'équation
18.33. a(t)y'(t) + b(t)y(t) = 0 est dite équation homogène, ou linéaire
sans second membre associée.
C'est pour cela que dans le cadre de notre belle théorie, avec E Banach,
u continue de I dans Cc(E, E) et b continue de I dans E, on dit encore
que l'équation
18.34. y 1 (t) = u(t)(y(t)) + b(t) est avec second membre, ce second
membre étant b(t), alors que l'équation