404 Analyse fonctionnelle
o.P
18.27. llYp+i(t)-yp(t)ll ~ (p + l)! (o.llYoll + .B)lt-tolP+l, valable pour
tout p, donc a fortiori, comme lt - toJ ~ (b - a) sur [a, b], l'inégalité
o.P(b- a)P+l
18.28. llYP+1(t) -yp(t)ll ~
(p + l)! (o.llYoll + .B) sur [a, b].
Mais alors, dans l'espace complet c 0 ([a, b], E) pour la norme de la
convergence uniforme, on a convergence normale de la série des fonctions
Yp+ 1 - Yp. donc convergence uniforme de cette série, mais aussi convergence uniforme de la suite des· Yp vers une fonction y continue de [a, b]
dans E.
Cette convergence uniforme, implique également la convergence uniforme des u(s)(yp(s)) vers u(s)(y(s), car si on forme
llu(s)(yp(s)) - u(s)(y(s)ll c'est llu(s)(yp(s) -y(s))ll
par linéarité de u(s), et c'est donc majoré par
lllu(s)lll llYp(s) -y(s)ll donc a fortiori par o.llYp -ylloo
sur le segment [a,b], d'où lim llu(s)(Yp(s)) - u(s)(y(s))ll = 0, unip->+oo
formément en s.
La relation 18.26 de définition des Yp donne alors, en passant à la
limite, l'égalité
18.29. y(t) = Yo + ft u(s)(y(s))ds + ft b(s)ds,
lto
lto
valable sur [a, b], mais ceci, quelque soit [a, b] de I contenant to, donc
finalement 18.29 est vérifiée sur J, et y étant continue, (continue sur tout
[a, b] C I . .. ) le second membre est dérivable en t, (Théorème 12.68) et
ona
y'(t) = u(t)(y(t)) + b(t).
Enfin y(to) = YO· On a donc l'existence d'une solution définie sur J,
de donnée initiale (to, Yo) pour l'équation différentielle 18.24.
Uunicité provient du lemme 18.21, car si deux solutions y et z sont
définies sur I, avec y(to) = z(to) = yo, on justifie encore que
J ·= {t, E J, y(t) = z(t)} est fermé, ouvert, non vide de I connexe, donc
c'est I, (l'aspect ouvert étant obtenu parce que le théorème de Cauchy
Lipschitz s'applique partout sur I x E).
o.P
18.27. llYp+i(t)-yp(t)ll ~ (p + l)! (o.llYoll + .B)lt-tolP+l, valable pour
tout p, donc a fortiori, comme lt - toJ ~ (b - a) sur [a, b], l'inégalité
o.P(b- a)P+l
18.28. llYP+1(t) -yp(t)ll ~
(p + l)! (o.llYoll + .B) sur [a, b].
Mais alors, dans l'espace complet c 0 ([a, b], E) pour la norme de la
convergence uniforme, on a convergence normale de la série des fonctions
Yp+ 1 - Yp. donc convergence uniforme de cette série, mais aussi convergence uniforme de la suite des· Yp vers une fonction y continue de [a, b]
dans E.
Cette convergence uniforme, implique également la convergence uniforme des u(s)(yp(s)) vers u(s)(y(s), car si on forme
llu(s)(yp(s)) - u(s)(y(s)ll c'est llu(s)(yp(s) -y(s))ll
par linéarité de u(s), et c'est donc majoré par
lllu(s)lll llYp(s) -y(s)ll donc a fortiori par o.llYp -ylloo
sur le segment [a,b], d'où lim llu(s)(Yp(s)) - u(s)(y(s))ll = 0, unip->+oo
formément en s.
La relation 18.26 de définition des Yp donne alors, en passant à la
limite, l'égalité
18.29. y(t) = Yo + ft u(s)(y(s))ds + ft b(s)ds,
lto
lto
valable sur [a, b], mais ceci, quelque soit [a, b] de I contenant to, donc
finalement 18.29 est vérifiée sur J, et y étant continue, (continue sur tout
[a, b] C I . .. ) le second membre est dérivable en t, (Théorème 12.68) et
ona
y'(t) = u(t)(y(t)) + b(t).
Enfin y(to) = YO· On a donc l'existence d'une solution définie sur J,
de donnée initiale (to, Yo) pour l'équation différentielle 18.24.
Uunicité provient du lemme 18.21, car si deux solutions y et z sont
définies sur I, avec y(to) = z(to) = yo, on justifie encore que
J ·= {t, E J, y(t) = z(t)} est fermé, ouvert, non vide de I connexe, donc
c'est I, (l'aspect ouvert étant obtenu parce que le théorème de Cauchy
Lipschitz s'applique partout sur I x E).