Equations différentielles 403
En effet, ceci équivaut à la convergence uniforme de la série des
Yp+l - Yp. pour p ;;;:i: O. Sur le compact [a, b], les fonctions continues
t ~ lllu(t)lll et t ~ llb(t)ll sont bornées, (et atteignent leurs bornes).
Soient a: et f3 ces bornes.
On a llY1(t) -yo(t)ll = 111: u(s)(yo)ds + 1: b(s)dsll
~ 11: lllu(s)lll llYolldsl + 11: llb(s)lldsl
~ lt - tol(a:llYoll + /3), sur [a, b].
Si on suppose que, pour tout t de [a, b], on a, pour p ;;;:i: 1,
lt-tolP
1
llYp(t) -Yp-1(t)ll ~
1
(a:llYoll + f3)a:P- ,
p.
(vrai si p = 1), il vient alors
llYp+i(t) -yp(t)ll ~ 11: lllu(s)lll llYp(s) -Yp-1(s)lldsl,
avec la valeur absolue autour de l'intégrale pour tenir compte de la place
de t par rapport à to. Or lllu(s)lll ~ a:, et on applique l'hypothèse de
récurrence : il vient
llYp+i(t) -yp(t)ll ~
a:· ~(a:llYoll + /3)1s - tolPds ,soit
11.
t
p-1
1
to
P·
~ a:~ (a:llYoll + /3) 1 {t ls - tolPdsl.
P·
lto
Si t ;;;:i: to, l'intégrale vaut
{t (s - to)Pds = _l_(t - to)P+l = lt - tolP+l,
lto
p+ 1
p+ 1
alors que pour t < to, c'est
1.
t
[(to-s)P+l]t
(to-t)P+l
-
(to - s)Pds =
=
to
p+l
to
p+l
lt- tolP+l
donc c'est encore
1
: on obtient finalement la majoration
p+