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Analyse fonctionnelle
(t,y).,,.. u(t)(y) se décompose en (t,y)- (u(t),y) continue car ses deux
composantes sont (t, y).,,.. t suivie de t.,,.. u(t) et la projection (t, y).,,.. y,
continue.
Puis, l'application de .C.c(E,E) x E i-+ E qui au couple (v,y) associe v(y) est bilinéaire, 1 · Lipschitzienne, donc continue, car l lv(y) 11 :E;;
lllvlll llYll, (voir Tome 2, Théorème 6.45).
Elle est ensuite localement Lipschitzienne en y car
llf(t, Y1) - f(t, Y2)ll = llu(t)(yi) - u(t)(y2)ll = llu(t){y1 -y2)ll
:E;; lllu{t)lll llY1 -y2ll,
(on utilise la linéarité de u(t)). Or l'application u, continue, est localement
bornée donc il existe V(to), voisinage de to tel que pour t E V(to),
lllu(t)lll :E;; k. Mais alors, pour tous (t,y1) et (t,y2) de V(to) x Eon
obtient llJ(t,y1) - f(t,y2)ll :E;; kllY1 -y2ll·
Il résulte' alors du Théorème 18.20, que pour tout (to, Yo) de I x E,
il existe une et une seule solution maximale de donnée initiale (to, Yo), à
valeurs dans I x E.
En fait on va retrouver ce résultat, en le précisant même car on va
justifier que cette solution maximale est définie sur I entier.
THÉORÈME 18.25. - Soit I un intervalle ouvert de IR, E un Banach, u
et b des applications continues de I dans .C.c(E, E) et E respectivement.
A/,ors pour tout (to, Yo) de I X E il existe une et une seule solution de
l'équation différentielle linéaire (18.24) y 1 (t) = u(t)(y) + b(t), définie sur
l'intervalle I, de donnée initiale (to, Yo).
On définit la suite de fonctions, de I dans E, par yo(t) = yà, pour tout
t E J, puis la relation de récurrence
18.26. Yp+1(t) = Yo + 1t u(s)(yp(s))ds + 1t b(s)ds.
to
to
D'abord, les fonctions s.,,.. u(s)(yo) et s.,,.. b(s) étant continues, (donc
réglées) de I dans E, sur le segment d'extrémités to et t, sont intégrables
et la relation 18.26 pour p = 0, définit une fonction Yl continue, (et même
dérivable).
Mais par récurrence, si Yp existe en étant continue sur I, on a de même
l'existence et la continuité de la fonction Yp+l·
Sur tout compact [a, b] de J, contenant to, il y a convergence uniforme
de la suite des Yp·
Analyse fonctionnelle
(t,y).,,.. u(t)(y) se décompose en (t,y)- (u(t),y) continue car ses deux
composantes sont (t, y).,,.. t suivie de t.,,.. u(t) et la projection (t, y).,,.. y,
continue.
Puis, l'application de .C.c(E,E) x E i-+ E qui au couple (v,y) associe v(y) est bilinéaire, 1 · Lipschitzienne, donc continue, car l lv(y) 11 :E;;
lllvlll llYll, (voir Tome 2, Théorème 6.45).
Elle est ensuite localement Lipschitzienne en y car
llf(t, Y1) - f(t, Y2)ll = llu(t)(yi) - u(t)(y2)ll = llu(t){y1 -y2)ll
:E;; lllu{t)lll llY1 -y2ll,
(on utilise la linéarité de u(t)). Or l'application u, continue, est localement
bornée donc il existe V(to), voisinage de to tel que pour t E V(to),
lllu(t)lll :E;; k. Mais alors, pour tous (t,y1) et (t,y2) de V(to) x Eon
obtient llJ(t,y1) - f(t,y2)ll :E;; kllY1 -y2ll·
Il résulte' alors du Théorème 18.20, que pour tout (to, Yo) de I x E,
il existe une et une seule solution maximale de donnée initiale (to, Yo), à
valeurs dans I x E.
En fait on va retrouver ce résultat, en le précisant même car on va
justifier que cette solution maximale est définie sur I entier.
THÉORÈME 18.25. - Soit I un intervalle ouvert de IR, E un Banach, u
et b des applications continues de I dans .C.c(E, E) et E respectivement.
A/,ors pour tout (to, Yo) de I X E il existe une et une seule solution de
l'équation différentielle linéaire (18.24) y 1 (t) = u(t)(y) + b(t), définie sur
l'intervalle I, de donnée initiale (to, Yo).
On définit la suite de fonctions, de I dans E, par yo(t) = yà, pour tout
t E J, puis la relation de récurrence
18.26. Yp+1(t) = Yo + 1t u(s)(yp(s))ds + 1t b(s)ds.
to
to
D'abord, les fonctions s.,,.. u(s)(yo) et s.,,.. b(s) étant continues, (donc
réglées) de I dans E, sur le segment d'extrémités to et t, sont intégrables
et la relation 18.26 pour p = 0, définit une fonction Yl continue, (et même
dérivable).
Mais par récurrence, si Yp existe en étant continue sur I, on a de même
l'existence et la continuité de la fonction Yp+l·
Sur tout compact [a, b] de J, contenant to, il y a convergence uniforme
de la suite des Yp·