Equations différentielles
401
Pour (to, Yo) E D, on peut définir une solution (I, cp) de donnée
initiale (to, Yo), considérer l'ensemble S des solutions de donnée initiale
(to, Yo), il est encore inductif car si on prend des solutions (I0 , cp0 )oeA
toutes comparables entre-elles, sur I = LJ I 0 on peut définir cp comme
oEA
précédemment parce que les solutions sont comparables; donc il y a des
solutions maximales mais cette fois-ci, le lemme 18.21 ne s'applique plus,
donc si (Ji, cp1) et (/2, cp2) sont deux solutions maximales comme elles
ne sont pas forcément comparables, on ne peut plus construire (I3, cp3)
les prolongeant, et on ne peut plus conclure à l'unicité d'une solution
maximale.
Il peut y avoir des ramifications.
Dernière (c'est promis) remarque : les solutions locales sont des restrictions des solutions maximales, et Cauchy Lipschitz c'est la colle, (ou
la ficelle de Dubout) qui permet de les recoller.
3. Equations linéaires
Dans le cadre des équations différentielles linéaires, les résultats vont
se préciser. Soit un espace de Banach E, I un intervalle ouvert de IR, u
une application de I dans Cc(E, E), (espace de Banach des applications
linéaires continues de E dans E, voir Tome 2, Théorème 6.25), et b une
application de I dans E.
On considère alors équation différentielle, dite linéaire,
18.24. y 1 (t) = u(t)(y) + b(t) = f(t, y)
la fonction f étant définie sur l'ouvert n =IXE de IR XE.
Si u et b sont continues, le théorème de Cauchy Lipschitz s'applique
en chaque (to, yo) de n. En effet, f est continue, car (t, y) ...,.. b(t) est
continue, la projection ( t, y) ....+ t l'étant, ainsi que b, puis l'application
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Pour (to, Yo) E D, on peut définir une solution (I, cp) de donnée
initiale (to, Yo), considérer l'ensemble S des solutions de donnée initiale
(to, Yo), il est encore inductif car si on prend des solutions (I0 , cp0 )oeA
toutes comparables entre-elles, sur I = LJ I 0 on peut définir cp comme
oEA
précédemment parce que les solutions sont comparables; donc il y a des
solutions maximales mais cette fois-ci, le lemme 18.21 ne s'applique plus,
donc si (Ji, cp1) et (/2, cp2) sont deux solutions maximales comme elles
ne sont pas forcément comparables, on ne peut plus construire (I3, cp3)
les prolongeant, et on ne peut plus conclure à l'unicité d'une solution
maximale.
Il peut y avoir des ramifications.
Dernière (c'est promis) remarque : les solutions locales sont des restrictions des solutions maximales, et Cauchy Lipschitz c'est la colle, (ou
la ficelle de Dubout) qui permet de les recoller.
3. Equations linéaires
Dans le cadre des équations différentielles linéaires, les résultats vont
se préciser. Soit un espace de Banach E, I un intervalle ouvert de IR, u
une application de I dans Cc(E, E), (espace de Banach des applications
linéaires continues de E dans E, voir Tome 2, Théorème 6.25), et b une
application de I dans E.
On considère alors équation différentielle, dite linéaire,
18.24. y 1 (t) = u(t)(y) + b(t) = f(t, y)
la fonction f étant définie sur l'ouvert n =IXE de IR XE.
Si u et b sont continues, le théorème de Cauchy Lipschitz s'applique
en chaque (to, yo) de n. En effet, f est continue, car (t, y) ...,.. b(t) est
continue, la projection ( t, y) ....+ t l'étant, ainsi que b, puis l'application