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Analyse fonctionnelle
leur réunion I est un connexe de R, donc un intervalle, ouvert comme
réunion d'ouverts, (Tome 2, Théorèmes 3.7, 3.6 et 4.77).
On définit r.p = If-+ Epar r.p(t) = r.p0 (t) si a de A est tel que t E I0 •
Ceci a un sens car si pour (3 de A, t E If3, on a vu par le lemme 18.21
que r.p0 = 'P(3 sur I0 n I(3 qui contient t.
On vérifie encore que (I, r.p) est une solution de 18.9 de donnée initiale
(to, Yo), (comme précédemment au lemme 18.22), et il est clair que (I, r.p)
prolonge chaque (I0 ,
Mais alors, (axiome de Zorn), il existe au moins une solution maximale
(li,
(lemme 18.22), mais (li,
à un troisième machin).
•
Une remarque de bon sens. Quand on étude une équation différentielle
y' = f(t, y) avec f définie a priori sur une partie D de R x E, on
commence par déterminer le plus grand ouvert n de R X E SUr lequel
Cauchy-Lipschitz s'applique, on sait alors que, pour chaque (to, Yo) de f2
il existe une et une seule solution maximale de donnée initiale ( to, yo),
et qui «reste dans n », ce qui prouve que deux solutions de ce type, ne
se coupent pas dans n sans être identiques, mais aussi que, si ( I, r.p) est
maximale, c'est :
1) soit parce que I =IR, (comment alors prolonger?),
2) soit I = ( ... , b[, (ou ]a, ... )), avec lim r.p(t) qui n'existe pas, ou
t-+bbien, lorsque lim r.p(t) = yi, existe, c'est parce que (b, Yl) ~ n, qu'il n'y
t-+ba pas de prolongement.
Sinon, si (b, Y1) E n, on a une solution locale en (b, Y1) qui se raccorde
avec (I, r.p) et qui définirait une solution majorant (I, r.p), maximale.
Ces remarques sont à exploiter, lorsque par exemple, on étudie les
équations différentielles avec E = R, par les méthodes pratiques, et
que l'on trace la famille des courbes intégrales. Ne pas oublier alors que
sur l'ouvert n où Cauchy-Lipschitz s'applique, les courbes intégrales ne se
recoupent pas.
Nous les appliquerons aussi dans le cas des équations différentielles
linéaires au paragraphe suivant.
Que se passe-t-il enfin sur la partie D de R x E où f est définie, et où
Cauchy-Lipschitz ne s'applique peut-être pas partout.
Analyse fonctionnelle
leur réunion I est un connexe de R, donc un intervalle, ouvert comme
réunion d'ouverts, (Tome 2, Théorèmes 3.7, 3.6 et 4.77).
On définit r.p = If-+ Epar r.p(t) = r.p0 (t) si a de A est tel que t E I0 •
Ceci a un sens car si pour (3 de A, t E If3, on a vu par le lemme 18.21
que r.p0 = 'P(3 sur I0 n I(3 qui contient t.
On vérifie encore que (I, r.p) est une solution de 18.9 de donnée initiale
(to, Yo), (comme précédemment au lemme 18.22), et il est clair que (I, r.p)
prolonge chaque (I0 ,
Mais alors, (axiome de Zorn), il existe au moins une solution maximale
(li,
(lemme 18.22), mais (li,
à un troisième machin).
•
Une remarque de bon sens. Quand on étude une équation différentielle
y' = f(t, y) avec f définie a priori sur une partie D de R x E, on
commence par déterminer le plus grand ouvert n de R X E SUr lequel
Cauchy-Lipschitz s'applique, on sait alors que, pour chaque (to, Yo) de f2
il existe une et une seule solution maximale de donnée initiale ( to, yo),
et qui «reste dans n », ce qui prouve que deux solutions de ce type, ne
se coupent pas dans n sans être identiques, mais aussi que, si ( I, r.p) est
maximale, c'est :
1) soit parce que I =IR, (comment alors prolonger?),
2) soit I = ( ... , b[, (ou ]a, ... )), avec lim r.p(t) qui n'existe pas, ou
t-+bbien, lorsque lim r.p(t) = yi, existe, c'est parce que (b, Yl) ~ n, qu'il n'y
t-+ba pas de prolongement.
Sinon, si (b, Y1) E n, on a une solution locale en (b, Y1) qui se raccorde
avec (I, r.p) et qui définirait une solution majorant (I, r.p), maximale.
Ces remarques sont à exploiter, lorsque par exemple, on étudie les
équations différentielles avec E = R, par les méthodes pratiques, et
que l'on trace la famille des courbes intégrales. Ne pas oublier alors que
sur l'ouvert n où Cauchy-Lipschitz s'applique, les courbes intégrales ne se
recoupent pas.
Nous les appliquerons aussi dans le cas des équations différentielles
linéaires au paragraphe suivant.
Que se passe-t-il enfin sur la partie D de R x E où f est définie, et où
Cauchy-Lipschitz ne s'applique peut-être pas partout.