Equations différentielles 399
Qui dit maximal dit ... Zorn (Algèbre 2.42).
On va justifier que l'ensemble des solutions de 18.9, de donnée initiale
{to, Yo) est inductif, en commençant par étaolir le
LEMME 18.21. - Soit (li, cp1) et (12, cp2) deux solutions de 18.9 : y 1 =
f(t, y) de même donnée initiale (to, Yo). Si le théorème de Cauchy Lipschitz
s'appli,que partout sur n, et si les graphes de 'Pl et 'P2 sont dans n, alors
'Pl et cp2 coïncident sur li n h·
D'abord I = li n 12 est un intervalle contenant to, ouvert car li et 12
le sont.
Puis J = { t; t E J,
cp2(t1), on a {ti, YI) E 0 et, l'unicité locale en {ti, YI) où le Théorème
de Cauchy Lipschitz s'applique, montre que 'Pl et cp2 coïncident sur un
voisinage ouvert de ti, donc 3a > 0 avec ]t1 - a, ti + a[c J.
Mais I étant connexe, car intervalle, et J ouvert et fermé de I, non
vide, on a J = I d'où 'Pl = cp2 sur li n 12.
•
LEMME 18.22. - Sous les mêmes hypothèses, on peut construire (!3, cp3),
de donnée initiale (to, Yo) qui prolonge (li, cp1) et (12, cp2), en posant
/3 =li U 12 et en définissant cp3 par:
cp3(t) = cp1(t) si t Eli et cp3(t) = cp2(t) si t Eh·
Ceci a un sens puisque 'Pl et cp2 coïncident sur li n 12; l'intervalle
/3 est ouvert, (union de deux intervalles ouverts contenant to); on a
cp3(to) = 'Pl (to) = cp2(to) = Yo; Vt E /3, {t, cp3(t)) est dans 0 car
c'est un {t,cp1(t)) avec t Eli ou un {t,cp2(t)) avec t E 12; enfin cp3 est
dérivable et sa dérivée vérifie l'équation différentielle 18.9 car, Vt E /3 on
a soit t E Ji, soit t E 12, par exemple t E Ji, mais li est ouvert donc il y
a un voisinage de t inclus dans Ji, sur lequel cp3 =
prolongeant {li,
LEMME 18.23. - L'ensemble S des solutions de 18.9 : y' = f(t, y),
de donnée initiale (to, Yo), est inductif pour l'ordre partiel «prolonge»,
(toujours avec la condition : graphe des solutions dans 0).
En effet soit C ={(la, 'Pa); a E A} une partie totalement ordonnée
de S. Les la, intervalles ouverts, sont des connexes contenant to, donc
Qui dit maximal dit ... Zorn (Algèbre 2.42).
On va justifier que l'ensemble des solutions de 18.9, de donnée initiale
{to, Yo) est inductif, en commençant par étaolir le
LEMME 18.21. - Soit (li, cp1) et (12, cp2) deux solutions de 18.9 : y 1 =
f(t, y) de même donnée initiale (to, Yo). Si le théorème de Cauchy Lipschitz
s'appli,que partout sur n, et si les graphes de 'Pl et 'P2 sont dans n, alors
'Pl et cp2 coïncident sur li n h·
D'abord I = li n 12 est un intervalle contenant to, ouvert car li et 12
le sont.
Puis J = { t; t E J,
cp2(t1), on a {ti, YI) E 0 et, l'unicité locale en {ti, YI) où le Théorème
de Cauchy Lipschitz s'applique, montre que 'Pl et cp2 coïncident sur un
voisinage ouvert de ti, donc 3a > 0 avec ]t1 - a, ti + a[c J.
Mais I étant connexe, car intervalle, et J ouvert et fermé de I, non
vide, on a J = I d'où 'Pl = cp2 sur li n 12.
•
LEMME 18.22. - Sous les mêmes hypothèses, on peut construire (!3, cp3),
de donnée initiale (to, Yo) qui prolonge (li, cp1) et (12, cp2), en posant
/3 =li U 12 et en définissant cp3 par:
cp3(t) = cp1(t) si t Eli et cp3(t) = cp2(t) si t Eh·
Ceci a un sens puisque 'Pl et cp2 coïncident sur li n 12; l'intervalle
/3 est ouvert, (union de deux intervalles ouverts contenant to); on a
cp3(to) = 'Pl (to) = cp2(to) = Yo; Vt E /3, {t, cp3(t)) est dans 0 car
c'est un {t,cp1(t)) avec t Eli ou un {t,cp2(t)) avec t E 12; enfin cp3 est
dérivable et sa dérivée vérifie l'équation différentielle 18.9 car, Vt E /3 on
a soit t E Ji, soit t E 12, par exemple t E Ji, mais li est ouvert donc il y
a un voisinage de t inclus dans Ji, sur lequel cp3 =
prolongeant {li,
LEMME 18.23. - L'ensemble S des solutions de 18.9 : y' = f(t, y),
de donnée initiale (to, Yo), est inductif pour l'ordre partiel «prolonge»,
(toujours avec la condition : graphe des solutions dans 0).
En effet soit C ={(la, 'Pa); a E A} une partie totalement ordonnée
de S. Les la, intervalles ouverts, sont des connexes contenant to, donc