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Analyse fonctionnelle
I = [to - a.', to +a.'] vérifiant, 'Vt E J, cp(t) = Yo + 1t f(s, cp(s))ds.
to
En particulier cp est dérivable, cp(to) = YO et cp'(t) = f(t, cp(t)) : on
a bien existence d'une solution locale de donnée initiale (to, Yo), c'est le
Théorème de Cauchy Lipschitz, en prenant l'intervalle ouvert
]to - a.', to + a.'[ pour intervalle de définition de cp.
•
Mais on a plus, on a l'unicité locale au sens suivant. Si (Ji , 'Pl) et
(I 2, cp2) sont deux solutions locales de même donnée initiale ( to, YO),
comme 'Pl et cp2 sont en particulier continues, il existera un a.' < a. tel que
[to-a.', to+a.'] c JinI2 et qu'en plus, pour tout t de [to-a.', to+a.'], 'Pl (t)
et cp2 ( t) soient dans B.
Mais alors les restrictions de cp1 et de cp2 à [to - a.', to + a.'] = I
coïncident avec le seul point fixe de COROLLAIRE 18.17. - Si en ( to, Yo) de 0 le Théorème de Cauchy Lipschitz
s'appUque et si on a deux solutions locales de donnée initiale (to, Yo), elles
coïncident localement : c'est en ce sens qu'on parle d'unicité locale.
•
Ce résultat apparemment peu utile va nous servir pour étudier les
solutions maximales. Mais 1er janvier oblige, je vais quitter cette histoire
passionnante pour aller rendre visite à ma sœur dans le Nord. A bientôt ...
Bonjour! J'espère que les lendemains de fête ne sont pas trop pénibles
pour vous. On continue.
DÉFINITION 18.18. -Soient deux solutions (Ji, cp1) et (h, cp2) de l'équation
différentielle 18.9: y'= f(t,y). On dit que (J2,cp2) prolonge (Ji,cp1) si
on a li C 12 et si la restriction de cp2 à li est 'Pl·
Il est facile de vérifier que l'on définit ainsi une relation d'ordre,
(partiel) sur les solutions de l'équation différentielle. On notera donc
(J1, cp1) ~ (h, cp2) lorsque (J2, cp2) prolonge (Ji, cp1).
18.19. Une solution sera dite maximale s'il n'existe pas de solution la
prolongeant.
THÉORÈME 18.20. - Soit une équation différentielle 18.9 : y' = f(t, y)
avec f continue de n ouvert de R X E dans E, (espace de Banach), f
étant localement lipschitzienne en y en tout point de n. Afors, pour chaque
( to, YO) de 0 il existe une et une seule solution maximale ( I, cp) de donnée
initiale (to, Yo), avec, 'Vt E J, (t, cp(t)) E 0.
Analyse fonctionnelle
I = [to - a.', to +a.'] vérifiant, 'Vt E J, cp(t) = Yo + 1t f(s, cp(s))ds.
to
En particulier cp est dérivable, cp(to) = YO et cp'(t) = f(t, cp(t)) : on
a bien existence d'une solution locale de donnée initiale (to, Yo), c'est le
Théorème de Cauchy Lipschitz, en prenant l'intervalle ouvert
]to - a.', to + a.'[ pour intervalle de définition de cp.
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Mais on a plus, on a l'unicité locale au sens suivant. Si (Ji , 'Pl) et
(I 2, cp2) sont deux solutions locales de même donnée initiale ( to, YO),
comme 'Pl et cp2 sont en particulier continues, il existera un a.' < a. tel que
[to-a.', to+a.'] c JinI2 et qu'en plus, pour tout t de [to-a.', to+a.'], 'Pl (t)
et cp2 ( t) soient dans B.
Mais alors les restrictions de cp1 et de cp2 à [to - a.', to + a.'] = I
coïncident avec le seul point fixe de COROLLAIRE 18.17. - Si en ( to, Yo) de 0 le Théorème de Cauchy Lipschitz
s'appUque et si on a deux solutions locales de donnée initiale (to, Yo), elles
coïncident localement : c'est en ce sens qu'on parle d'unicité locale.
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Ce résultat apparemment peu utile va nous servir pour étudier les
solutions maximales. Mais 1er janvier oblige, je vais quitter cette histoire
passionnante pour aller rendre visite à ma sœur dans le Nord. A bientôt ...
Bonjour! J'espère que les lendemains de fête ne sont pas trop pénibles
pour vous. On continue.
DÉFINITION 18.18. -Soient deux solutions (Ji, cp1) et (h, cp2) de l'équation
différentielle 18.9: y'= f(t,y). On dit que (J2,cp2) prolonge (Ji,cp1) si
on a li C 12 et si la restriction de cp2 à li est 'Pl·
Il est facile de vérifier que l'on définit ainsi une relation d'ordre,
(partiel) sur les solutions de l'équation différentielle. On notera donc
(J1, cp1) ~ (h, cp2) lorsque (J2, cp2) prolonge (Ji, cp1).
18.19. Une solution sera dite maximale s'il n'existe pas de solution la
prolongeant.
THÉORÈME 18.20. - Soit une équation différentielle 18.9 : y' = f(t, y)
avec f continue de n ouvert de R X E dans E, (espace de Banach), f
étant localement lipschitzienne en y en tout point de n. Afors, pour chaque
( to, YO) de 0 il existe une et une seule solution maximale ( I, cp) de donnée
initiale (to, Yo), avec, 'Vt E J, (t, cp(t)) E 0.