Equations différentielles
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La boule fermée de centre yo, de rayon Ma est un fermé de E
complet, c'est donc un espace complet, noté B. Soit pour a' vérifiant
0 < a' < a, l'intervalle I = [to - a', to + a'] et F l'espace co ( I, B) des
applications continues de I, compact dans B. Il est normé par la norme
de la convergence uniforme, ll9lloo = sup{ll9(t)ll,t E J} si 9 E F et F
ainsi normé est complet, (Théorème 12.50).
Pour 9 dans F, on définit la fonction (9) sur I par
18.16. (9)(t) = Yo + 1: f(s,9(s))ds.
Ceci a un sens car 9 E F et s E I =? 9(s) E B, donc, (voir 18.15),
(s, 9(s)) E (VinV2) c n: la fonctions~ f(s, 9(s)) est alors continue sur
le segment I, (composé d'applications continues), donc l'intégrale existe et
on définit une fonction dérivable de t, de dérivée f(t, 9(t)), (Théorème
12.68).
De plus (9) E F. Nous devons vérifier que (9) est à valeur dans B,
or ll(9)(t) - Yoll = 111: f(s,9(s))dsll ~ 11: llf(s,9(s))lldsl, la valeur
absolue étant là pour tenir compte de la place de t par rapport à to.
Or (s,9(s)) est dans Vi donc, (18.13), llf(s,9(s))ll ~ Met comme
lt - toi ~a' (9)(t) - Yoll ~ Mit - toi ~ Ma: la fonction
(9) est bien à valeur dans B.
Enfin est contractante car : avec 91 et 92 dans F, on a
ll(91)(t) - (92)(t)ll = 111: [f(s,91(s)) - f(s,92(s))] dsll
~ 11: llf(s,91(s)) - f(s,92(s))lldsl.
Or (s,91(s)) et (s,92(s)) sont dans V2 donc, (voir 18.14),
llf(s,91(s)) - f(s,92(s))ll ~ kll91(s) - 92(s)ll ~ kll91 - 921100
d'où, comme lt - toi ~ a' < a, on a, pour tout t de I,
ll(91)(t) - (92)(t)ll ~ kall91 - 921100, donc
ll(91) - (92)1100 ~ kall91 - 921100 avec ka< 1.
Mais alors, contractante de F complet dans lui-même admet un et
un seul point fixe, (Tome 2, Théorème 4.102): il existe une et une seule
fonction r.p définie sur