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Analyse fonctionnelle
Le terme « Lipschitzienne en y » s'explique donc par le fait que
l'accroissement ne porte que sur y. Un tel énoncé est rébarbatif mais
en fait facile à justifier car, si f admet une différentielle partielle en
y, continue sur n, dfy sera localement bornée, (car continue) donc par
application du théorème des accroissements finis, (Théorème 16.44) f sera
localement Lipschitzienne en y.
THÉORÈME 18.12. - Soit E un Banach, n un ouvert de IR x E et f une
application continue de n dans E, localement Lipschitzienne en y, au point
(to, Yo) de n. Alors l'équation différentielle 18.9 : y' = f(t, y) admet au
moins une solution locale de donnée initiale ( to, YO ).
C'est le Théorème de Cauchy Lipschitz, point de départ de cette étude.
Analysons la situation : on veut conclure : « 3 machin chose ... » c'est
ce que j'appelle un théorème existentiel, donc du type : Rolle, Taylor
Lagrange sur IR, (3c ... ), fonction continue de K compact dans R, (sup
et inf atteints), point fixe ... , tiens, tiens, point fixe, c'est du contractant
dans un Banach ... nous y voilà.
Par ailleurs, si les hypothèses le permettent, t ~ ft f(s, g(s))ds
lto
sera dérivable, de dérivée f(t,g(t)), si donc cette intégrale valait g(t) +
constante, la dérivée g 1 serait la bonne ...
On cherche donc g, «point fixe» de g ~ h, h fonction définie par
h(t) = cte + {t f(s,g(s))ds en quelque sorte. Nous allons procéder par
lto
étapes.
Comme f est continue, il existe un voisinage Vi de ( to, Yo) dans n et
une constante positive M telle que
18.18. (t,y) E V1 => iif(t,y)ii ~ M,
(continuité avec cet M = c = llf(to, Yo)ll).
Comme f est localement lipschitzienne en y, il existe V2 c n, voisinage
de (to, Yo) et une constante positive, k, tels que
18.15. Soit 8.Iors a > 0 tel que ka < 1 et que pour it - to 1 ~ a et
llY-Yoll ~Ma on ait (t, y) dans Vin V2.
Analyse fonctionnelle
Le terme « Lipschitzienne en y » s'explique donc par le fait que
l'accroissement ne porte que sur y. Un tel énoncé est rébarbatif mais
en fait facile à justifier car, si f admet une différentielle partielle en
y, continue sur n, dfy sera localement bornée, (car continue) donc par
application du théorème des accroissements finis, (Théorème 16.44) f sera
localement Lipschitzienne en y.
THÉORÈME 18.12. - Soit E un Banach, n un ouvert de IR x E et f une
application continue de n dans E, localement Lipschitzienne en y, au point
(to, Yo) de n. Alors l'équation différentielle 18.9 : y' = f(t, y) admet au
moins une solution locale de donnée initiale ( to, YO ).
C'est le Théorème de Cauchy Lipschitz, point de départ de cette étude.
Analysons la situation : on veut conclure : « 3 machin chose ... » c'est
ce que j'appelle un théorème existentiel, donc du type : Rolle, Taylor
Lagrange sur IR, (3c ... ), fonction continue de K compact dans R, (sup
et inf atteints), point fixe ... , tiens, tiens, point fixe, c'est du contractant
dans un Banach ... nous y voilà.
Par ailleurs, si les hypothèses le permettent, t ~ ft f(s, g(s))ds
lto
sera dérivable, de dérivée f(t,g(t)), si donc cette intégrale valait g(t) +
constante, la dérivée g 1 serait la bonne ...
On cherche donc g, «point fixe» de g ~ h, h fonction définie par
h(t) = cte + {t f(s,g(s))ds en quelque sorte. Nous allons procéder par
lto
étapes.
Comme f est continue, il existe un voisinage Vi de ( to, Yo) dans n et
une constante positive M telle que
18.18. (t,y) E V1 => iif(t,y)ii ~ M,
(continuité avec cet M = c = llf(to, Yo)ll).
Comme f est localement lipschitzienne en y, il existe V2 c n, voisinage
de (to, Yo) et une constante positive, k, tels que
18.15. Soit 8.Iors a > 0 tel que ka < 1 et que pour it - to 1 ~ a et
llY-Yoll ~Ma on ait (t, y) dans Vin V2.