Equations différentielles
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18.6. Y'(t) = 'lt(t, Y(t)),
avec '11, définie sur la partie n de ~ X En où cp était définie, par ses n
composantes Wi, '112, ... , Wn :
18.7. 'l/J1(t, Y) = Y2
'l/J2(t, Y) = Y3
'l/Jn-1 (t, Y) = Yn
'l/Jn(t, Y) = cp(t, Yi. Y2, ... , Yn)·
Au terme de cette étude, on est donc ramené à considérer une équation
différentielle du type :
18.8. Y' (t) = 'lt(t, Y(t))
'11 fonction définie sur une partie de~ x G, à valeurs dans G, (Banach),
équation sur laquelle, le plus souvent, on ne sait rien faire.
Alors ... on va renforcer les hypothèses.
2. Théorème de Cauchy Lipschitz
Soit une équation différentielle, résoluble, du premier ordre :
18.9. y'(t) = f(t, y(t))
avec f définie sur un ouvert n de ~ x E, E Banach.
18.10. On appelle solution locale de donnée initiale (to, Yo) E 0 de
l'équation différentielle 18.9, tout couple (I, cp) avec I intervalle ouvert
de ~. contenant to, et cp fonction dérivable de I dans E vérifiant :
cp(to) = Yo et, Vt E J, (t, cp(t)) E 0 et cp 1 (t) = f(t, cp(t).
DÉFINITION 18.11. - L'application f définie de n ouvert de R X E, à
valeurs dans E, espace vectoriel normé est dite localement Lipschitzienne
en y, (y E E) au point (to, yo) de n s'il existe un voisinage V de (to, Yo)
dans net une constante positive k telle que V(t, YI) E V, V(t, Y2) E V,
iif(t,y1) - f(t,y2)ll ~ kiiY1 -y2il·