394
Analyse fonctionnelle
18.3. Si pour to E Ion a x(to) = ao, x'(to) =ai, ... , x on dira que (to, ao, x1, ... , an-1) est une donnée initiale vérifiée par la
solution (J, x).
Le problème ainsi posé, c'est celui que l'on rencontre, en physique par
exemple, lorsqu'on traduit l'étude d'un système physique.
Il faut cependant reconnaître que le plus souvent, on ne sait rien faire.
Alors on va renforcer les hypothèses. Supposons que soit de classe
1
0
C sur un ouvert, A par exemple, et qu'en a= (to, ao, ai, ... , an-li an)
0
â
dans A, - 8 (a) =/:O.
Xn
On sait alors que localement l'égalité (t, xo, ... , Xn) = 0 sera équivalente à une relation du type
Xn = cp(t, xo, ... , Xn-1) avec cp(to, ao, ... , an-1) =an,
cp étant de classe C 1 . C'est le théorème des fonctions implicites (Théorème
17.10) qui nous donne ce résultat.
On appelle forme résoluble, la forme
18.4. x d'une équation différentielle, et c'est sur cette forme que l'on va travailler,
en se ramenant d'abord à une équation d'ordre 1 sur En.
Soit donc le Banach G = En. Si I est un intervalle de IR et x une
fonction n fois dérivable de I dans E on introduit la fonction Y, dérivable,
de I dans G, définie par Y(t) = (YI (t), y2(t), ... , Yn(t)) avec:
18.5. Y1(t) = x(t)
Y2(t) = x'(t)
y3(t) = x" (t)
= yJ. (t)
= Y2(t)
Yn(t) = x On a alors ( I, x) solution locale de 18.4 si et seulement si, avec les
relations précédentes, Yn vérifie l'égalité
y~(t) = x(n) (t) = cp (t, x(t), ... , x ou encore si et seulement si x est la première composante de la fonction
Y, à valeurs dans G = En, solution locale de :